Długość odcinków kończących się na wykresach funkcji.

[sinusek]

Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi \(OY\), których jeden koniec leży na wykresie funkcji \(f(x)=\frac{-2}{x}, x<0\), a drugi koniec leży na wykresie funkcji \(g(x)=-(x-2)^2, x\in \rr\). Oblicz długość najkrótszego takiego odcinka.
Z góry dzięki!

[Jerry]

Długość takiego odcinka określa wzór:
\(d(x)={-2\over x}-(-(x-2)^2)\wedge x<0\)
i trzeba wskazać minimum tej funkcji...

Pozdrawiam

[Młodociany całkowicz]

Długość odcinka zależna od \(x\) wyraża się wzorem: \(d(x) = f(x) - g(x) = \frac{-2}{x} + (x-2)^2\)

Liczymy pochodną:

\(d'(x) = \frac{2}{x^2} + 2(x-2)\)
\(\frac{2}{x^2} + 2(x-2) = \frac{2 + 2x^3 - 4x^2}{x^2} = \frac{2- 2x^2 + 2x^3 - 2x^2}{x^2} = \frac{2- 2x^2 + 2x^3 - 2x^2}{x^2} = \frac{2(x-1)(x^2 - x - 1)}{x^2} \)
\( \Delta = 5\)
\( h'(x) = \frac{2(x-1)(x - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})(x - \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}{x^2} = \)

Funkcja maleje dla \(x \le \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), tam osiąga minimum, i rośnie do 0.

PS.
Jeszcze raz przepraszam za swoją niefrasobliwość. Dzisiaj nie jestem w najlepszej formie.

[Jerry]

A zatem jedynym miejscem zerowym pochodnej jest 1.

Dla \(x<0\) zatem ekstremum nie ma

Spoiler

Poprawnie:
Funkcja przyjmuje wartość minimalną i najmniejszą dla \(x={1-\sqrt5\over2}\)

Pozdrawiam

[Młodociany całkowicz]

Przepraszam najmocniej.