Dwa równania - dwa parametry

[sinusek]

Wyznacz wszystkie wartości parametrów \(p, q\in \rr\) dla których równanie \(x^2+px+q=0\) ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\) oraz równanie \(x^2-p^2x+pq=0\) ma też dwa rozwiązania \(x_1 +1, x_2 +1\).

Wiem, że trzeba coś pokręcić z wzorami Vieta, ale nie potrafię ułożyć wszystkich założeń. Z góry dzięki za wyjaśnienie krok po kroku!

[panb]

Wyznacz wszystkie wartości parametrów \(p, q\in \rr\) dla których równanie \(x^2+px+q=0\) ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\) oraz równanie \(x^2-p^2x+pq=0\) ma też dwa rozwiązania \(x_1 +1, x_2 +1\).

Wiem, że trzeba coś pokręcić z wzorami Vieta, ale nie potrafię ułożyć wszystkich założeń. Z góry dzięki za wyjaśnienie krok po kroku!

No taka wskazówka powinna ci wystarczyć.
\[x^2+px+q=0 \So \begin{cases} x_1+x_2=- \frac{p}{1}=-p \\x_1x_2=q\end{cases}\\
x^2-p^2x+pq=0 \So \begin{cases} x_1+1+x_2+1=x_1+x_2+2=p^2 \\(x_1+1)(x_2+1)=pq\end{cases} \]

\( \begin{cases}x_1+x_2+2=p^2 \\ x_1+x_2=-p \end{cases} \So -p+2=p^2 \iff p^2+p-2=0 \iff p=1 \text{ lub } p=-2\\
\begin{cases} x_1+x_2=-p\\x_1x_2=q\\ (x_1+1)(x_2+1)=pq\end{cases} \So x_1x_2+x_1+x_2+1=q-p+1=pq\)

Jeśli p=1, to \(q-p+1=pq \iff q=q\in\rr \).
Jeśli p=-2, to \(q-p+1=pq \iff q+3=-2q \iff q=-1\)

Sprawdzamy:
\(p=1, q\in \rr : x^2+px+q=0 \So x^2+x+q=0,\,\,\Delta =1-4q>0 \iff q < \frac{1}{4} \\
p=-2, q=-1 : x^2+px+q=0 \iff x^2-2x-1=0 \iff x_1=1-\sqrt2,\,\,x_2=1+\sqrt2\\
\qquad \qquad x^2-p^2x+pq=0 \So x^2-4x+2=0 \iff\\
\qquad\qquad\iff x_1=2-\sqrt2=1-\sqrt2+1,\,\, x_2=2+\sqrt2=1+\sqrt2 +1\)

Odpowiedź: Równanie \(x^2+px+q=0\) ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\) oraz równanie \(x^2-p^2x+pq=0\) ma też dwa rozwiązania \(x_1 +1, x_2 +1\) jeśli \(\,\,\, p=1, q< \frac{1}{4}\) lub \(p=-2, q=-1\)