Jaka funkcja f

[mining4321]

Jaka funkcja \(f\colon\rr\to\rr\) spełnia dla dowolnej liczby rzeczywistej x równość \(f(x) + 2f(1−x) =x^2\) ?

Z góry dziękuję za pomoc.

[grdv10]

Wstawiając w tym równaniu \(1-x\) w miejsce \(x\) mamy \(f(1-x)+2f(x)=(1-x)^2.\) Odejmujemy to dwukrotnie od wyjściowego równania dostając \(-3f(x)=x^2-2(1-x)^2,\) skąd \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+2}{3}.\) Na koniec sprawdzamy, że zachodzi postulowane równanie, co już zostawiam Tobie do samodzielnego obliczenia.

[panb]

Jaka funkcja \(f\colon\rr\to\rr\) spełnia dla dowolnej liczby rzeczywistej x równość \(f(x) + 2f(1−x) =x^2\) ?

Z góry dziękuję za pomoc.

Zauważmy, że \(f(1-x)+2f(1-(1-x))=(1-x)^2 \So \begin{cases}2f(x)+f(1-x)=(1-x)^2\\ f(x) + 2f(1−x) =x^2 \end{cases} \So f(x)= \frac{x^2-4x+2}{3} \)

[grdv10]

Rozwiązanie identyczne z moim. Zapomniał Pan o konieczności sprawdzenia, że ta funkcja istotnie spełnia to równanie funkcyjne. Posługujemy się tu metodą analizy starożytnych: przypuśćmy, że funkcja \(f\) spełnia to równanie. Tak więc musi być postaci \(f(x)=\frac{x^2-4x+2}{3}.\) No i brakuje nam sprawdzenia, że funkcja \(f\) spełnia postulowane równanie. Dopiero wtedy możemy powiedzieć o zakończeniu rozwiązania.

[panb]

Nie miałem świadomości, że Pan też rozwiązuje to zadanie - dla ścisłości.
Jedno z równań układu jest równaniem wyjściowym dlatego darowałem sobie sprawdzanie.
Czy "to równanie funkcyjne" to nie to samo, co "postulowane równanie" ?

[grdv10]

Tak, miałem to samo na myśli. Owszem, często się zdarza napisać w tym samym temacie w małej odległości czasowej. Ale chciałem zwrócić uwagę na konieczność tego sprawdzenia. Choćby tak, jak ja to napisałem, bo fizycznie też nie sprawdziłem.

Proste było to równanie. Proponuję inną zabawę. Proszę wyznaczyć wszystkie funkcje różniczkowalne \(f\colon\rr\to\rr\) spełniające równanie funkcyjne\[f(y)-f(x)=f'\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)(y-x)\]dla wszystkich \(x,y\in\rr\) (czyli punkt pośredni opisany twierdzeniem Lagrange'a o wartości średniej jest zawsze środkiem przedziału). Zadanie nie jest trudne, a dobrze wprowadza w dziedzinę równań funkcyjnych. Miłej zabawy.