Zadanie optymlizacyjny - największa długość odcinka

[kaktuskaktee]

Wykresy funkcji kwadratowych \(f(x) = x^2\) oraz \(g(x)=-x^2+2x+6\) przecinają się w dwóch punktach o odciętych \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1 < x_2\). Prosta o równaniu \(x = x_0\), gdzie \(x_0 \in (x_1,x_2)\), przecięła oba wykresy w punktach \(M\) i \(N\). Wyznacz długość odcinka \(MN\) (zobacz rysunek) wiedząc, że jest ona największa możliwa.

RMoGxel.png (62.3 KiB) Przejrzano 976 razy

[Galen]

Szukamy punktu \(x_0\) takiego aby różnica wartości oby funkcji była największa.
W tym celu liczysz \(g(x)-f(x)=h(x)\) i wyznaczasz największą wartość funkcji h.
\(h(x)=-x^2+2x+6\;-\;x^2\\h(x)=-2x^2+2x+6\)
Wykresem funkcji h jest parabola z ramionami w dół,więc największą wartość osiąga w wierzchołku.
\(x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)
\(h(\frac{1}{2})=6\frac{1}{2}\)
\(|MN|=6,5\)

Optymalizacja z użyciem pochodnej
\(h(x)=g(x)-f(x)=-2x^2+2x+6\\h'(x)=-4x+2\\h'(x)=0\;\;\;\;czyli\;\;\;-4x+2=0\\x=\frac{1}{2}\)
W tym punkcie pochodna zmienia znak z plus na minus,zatem funkcja h osiąga maksimum.

[Jerry]

\(h(x)=-2x^2+2x+6\)

Dodam, że \(D_h=\left({1-\sqrt{13}\over2};{1-\sqrt{13}\over2}\right)\), aby \(h(x)\) była dobrze określoną funkcją długości oraz spełnione były warunki zadania

Pozdrawiam