funkcja kwadratowa

[Pawm32]

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=(x-3p)(x-p-3)\) , gdzie p jest parametrem, \( p\in \rr \)
dla jakich wartości parametru p funkcja f dla każdej liczby rzeczywistej x należącej do przedziału \(<1,3>\), przyjmuje wartości ujemne

[panb]

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=(x-3p)(x-p-3)\) , gdzie p jest parametrem, \( p\in \rr \)
dla jakich wartości parametru p funkcja f dla każdej liczby rzeczywistej x należącej do przedziału \(<1,3>\), przyjmuje wartości ujemne

Jak widać funkcja f ma dwa miejsca zerowe (niekoniecznie różne): \(x_1=3p,\,\,\, x_2=p+3\).
Ramiona skierowane do góry, więc funkcja przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi.
Sprawdźmy, które z nich jest mniejsze, a które większe.
\(x_1<x_2 \iff 3p<p+3 \iff p<1,5\)
Chcielibyśmy, żeby było jak na rysunku

rys1.png (2.78 KiB) Przejrzano 1721 razy

A w zapisie to by było tak:
\[p<1,5\\ 3p\le 1 \wedge p+3\ge3\\ p\le \frac{1}{3} \wedge p\ge 0\\ p\le \frac{1}{3} \wedge p\ge 0 \wedge p<1,5\\ p\in \left[ 0, \frac{1}{3} \right] \]

Teraz drugi przypadek, czyli \(x_2<x_1\)
Chcielibyśmy, żeby było jak na rysunku

rys2.png (2.64 KiB) Przejrzano 1721 razy

Czyli, żeby \[p>1,5\\ p+3\le1 \wedge 3p\ge3\\ p\le -2 \wedge p\ge 1\\ \text{sprzeczność - nie ma takich } p\]

Odpowiedź: Funkcja f dla każdej liczby rzeczywistej x należącej do przedziału \(<1,3>\), przyjmuje wartości ujemne, gdy \(p\in \left[ 0, \frac{1}{3} \right]\)

[Jerry]

Albo:
Naszkicuj wykres danej funkcji (parabolę o ramionach otwartych ku górze i dwóch - najczęściej - miejscach zerowych) i zauważ, że przedział \(\langle 1; 3\rangle\) musi leżeć pomiędzy miejscami zerowymi oraz, co istotne, \(f(1)<0\) i \(f(3)<0\). Pozostaje rozwiązać
\((1-3p)(1-p-3)<0\wedge (3-3p)(3-p-3)<0\\
p\in\left(-2;{1\over3}\right)\wedge p\in(0;1)\\
p\in\left(0;{1\over3}\right)\)

Pozdrawiam