Optymalizacja

[adam1122]

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy \(L\). Jakie długości powinny mieć boki tego trójkąta,
aby objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wzdłuż podstawy była największa?

[eresh]

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy \(L\). Jakie długości powinny mieć boki tego trójkąta,
aby objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wzdłuż podstawy była największa?

x - długość podstawy
y - długość ramienia
h - wysokość trójkąta

\(x+2y=L\\
y=\frac{L-x}{2}\)
\(x\in (0,\frac{L}{2})\)

\(h^2=y^2-0,25x^2\\
h^2=\frac{L^2-2xL}{4}\)

W wyniku obrotu powstanie bryła złożona z dwóch przystających stożków złączonych podstawami. Promień stożka to wysokość trójkąta, wysokość stożka to połowa podstawy trójkąta

\(V=2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot h^2\cdot \frac{1}{2}x\\
V=\frac{1}{12}\pi\cdot (L^2x-2x^2L)\\
V_{max}=V(\frac{-L^2}{2\cdot (-2L)}=V(\frac{L}{4})\\
x=\frac{L}{4}\\
y=\frac{3L}{8}\)

[korki_fizyka]

Co tydzień to samo: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=24&t=92191

[Jerry]

Niech \(x>0\) będzie długością połowy podstawy, wtedy ramię ma długość \({1\over2}L-x>x\) i wysokość \(\sqrt{\left({1\over2}L-x\right)^2-x^2}\). Bryła - dwa stożki o wspólnej podstawie - ma objętość \(V(x)=2\cdot{1\over3}\pi \cdot\sqrt{\left({1\over2}L-x\right)^2-x^2}^2\cdot x\).
Wystarczy znaleźć ekstrema funkcji
\(y=f(x)=\left[\left({1\over2}L-x\right)^2-x^2\right]\cdot x\) określonej dla \(0<x<{1\over4}L\)

Pozdrawiam