Sprawdź, że funkcja jest okresowa i wyznacz jej okres podstawowy

[TomaszSy]

Sprawdź, że funkcja \(f: \rr \to \rr\) jest okresowa i wyznacz jej okres podstawowy :
\(f(x) =2-3\cos \frac{5x}{2} \)
\(f(x) =\sin2x-\tg \frac{x}{3} \)

[Jerry]

Sprawdź, że funkcja \(f: \rr \to \rr\) jest okresowa i wyznacz jej okres podstawowy :
\(f(x) =2-3\cos \frac{5x}{2} \)

Z definicji: dla każdego \(x\in\rr\) ma być
\(f(x+T)=f(x)\iff 2-3\cos \frac{5(x+T)}{2}=2-3\cos \frac{5x}{2}\\
\cos \frac{5(x+T)}{2}=\cos \frac{5x}{2}\\
(\frac{5(x+T)}{2}= \frac{5x}{2}+k\cdot2\pi\vee \frac{5(x+T)}{2}=- \frac{5x}{2}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
\frac{5T}{2}=k\cdot2\pi\vee T \text{ zależy od }x\)
Ostatecznie:
\(T=k\cdot{4\pi\over5}\wedge k\in\zz\)
oraz, dla \(k=1\), mamy
\(T_0={4\pi\over5}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Sprawdź, że funkcja \(f: \rr \to \rr\) jest okresowa i wyznacz jej okres podstawowy :
\(f(x) =\sin2x-\tg \frac{x}{3} \)

I inaczej:
Okresem zasadniczym \(y_1=\sin2x\) jest \(T_1=\pi\), a \(y_2=\tg \frac{x}{3}\) jest \(T_2=3\pi\).
\(NWW(T_1,T_2)=3\pi=T_0\) funkcji \(y=f(x)\), co łatwo sprawdzić

Pozdrawiam