zadanie optymalizacyjne z trapezem

[ketnasar77]

Okno ma mieć kształt trapezu, którego górna podstawa oraz oba ramiona mają długość a. Spośród nich
szukamy trapezu o największym polu. Podaj stosunek dolnej do górnej podstawy

[eresh]

Okno ma mieć kształt trapezu, którego górna podstawa oraz oba ramiona mają długość a. Spośród nich
szukamy trapezu o największym polu. Podaj stosunek dolnej do górnej podstawy

\(h=\sqrt{a^2-x^2}\\
x\in (0,a)\\
P=\frac{1}{2}(x+x+a+a)h\\
P=\frac{1}{2}(2x+2a)h\\
P(x)=(x+a)\sqrt{a^2-x^2}\\
P(x)=\sqrt{(x+a)^2(a^2-x^2)}\\
f(x)=(x^2+2ax+a^2)(a^2-x^2)\\
f'(x)=(2x+2a)(a^2-x^2)+(x^2+2ax+a^2)(-2x)\\
f'(x)=2xa^2-2x^3+2a^3-2ax^2-2x^3-4ax^2-2a^2x\\
f'(x)=-4x^3-6ax^2+2a^3\\
f'(x)=(x+a)(-4x^2-2ax+2a^2)\\
f'(x)=-4(x+a)(x-0,5a)(x+a)\\
f'(x)=-4(x+a)^2(x-0,5a)\\
f'(x)>0\iff x\in (0,\frac{1}{2}a)\\
f'(x)<0\iff x\in (\frac{1}{2}a,a)\\
f_{\max}=f(\frac{1}{2}a)\\
P_{\max}=P(\frac{1}{2}a)\\
|AB|=a+2x=2a\\
\frac{|AB|}{|DC|}=\frac{2a}{a}=2\)