Suma tangensów

[hyprj]

Oblicz \(\tg \alpha +\tg \beta +\tg \gamma \), wiedząc, że \( \alpha ,\ \beta ,\ \gamma \) są kątami w trójkącie oraz \(\tg \alpha,\ \tg \beta ,\ \tg \gamma \) są liczbami całkowitymi.

[panb]

Oblicz \(tg \alpha +tg \beta +tg \gamma \), wiedząc, że \( \alpha , \beta , \gamma \) są kątami w trójkącie oraz \(tg \alpha, tg \beta , tg \gamma \) są liczbami całkowitymi.

\(\gamma=180^\circ -(\alpha+\beta) \So \tg\gamma= - \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta} \)

Niech teraz \(\tg\alpha=m, \tg\beta=n, \tg\gamma=k ,\,\,\, m,n,k\in \zz \So k= \frac{m+n}{mn-1} \So m+n=k(mn-1)\\
m+n+k=k(mn-1)+k=mnk\)
Trójkąt z zadania nie może być prostokątny, bo wtedy tangens nie byłby liczbą całkowitą, więc mamy pewność, że \(mm\neq 1\)
Szukamy więc liczb całkowitych m, n, k takich, że \(m+n+k=mnk\).
Teraz przyjrzyjmy się znakowi liczb m, n, k. Ponieważ są to tangensy kątów w trójkącie, więc co najmniej dwa z nich muszą być dodatnie. Załóżmy, bez straty ogólności, że \( m\le n \le k\). Wtedy \(m+n+k\le 3k\) i mamy
\(mnk=m+n+k\le 3k \So mn\le 3\).
Pamiętając, że \( m\le n \le k\) oraz, że tylko jedna z liczb m, n może być ujemna nie będzie chyba trudno znaleźć rozwiązania.
Spróbuj!

Jedynym rozwiązaniem jest \(m=1, n=2, k=3 \So m+n+k=6\), więc

Odpowiedź: \(tg \alpha +tg \beta +tg \gamma =6\)

[Jerry]

Ponieważ dla \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) kątów trójkąta zachodzi
$$\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\cdot\tg\beta\cdot\tg\gamma$$
to dla
\(x= \tg\alpha,\ y=\tg\beta,\ z=\tg\gamma\wedge x,y,z\in\zz\setminus\{\emptyset\}\)
musi zajść
\(x+y+z=xyz\ |\colon xyz\)
\({1\over yz}+{1\over xz}+{1\over xy}=1\)
Można zauważyć, że równość zachodzi, z dokładnością do permutacji, dla trójki \((1,2,3)\). A ponieważ \(f(t)={1\over t}\) jest malejąca dla \(t>0\), to \(x+y+z=6\) jest jedyną odpowiedzią dla dodatnich tangensów.
Na mieszankę dodatnich i ujemnego chwilowo nie mam pomysłu... Może ktoś?

Pozdrawiam

[edited] panb pozamiatał!