równania wspólnych stycznych

[rubbishbin_]

Wyznacz równania wspólnych stycznych do wykresów funkcji \(f(x)={x}^{2}-x+1\) i \(g(x)= \frac{1}{2}{x}^{2}-x+2\)

[eresh]

Wyznacz równania wspólnych stycznych do wykresów funkcji \(f(x)={x}^{2}-x+1\) i \(g(x)= \frac{1}{2}{x}^{2}-x+2\)

\(A(a,a^2-a+1)\) - punkt styczności f
\(B(b,\frac{1}{2}b^2-b+2)\) - punkt styczności g

\(f'(x)=2x-1\\
f'(a)=2a-1\\
y=f'(a)(x-a)+f(a)\\
y=(2a-1)(x-a)+a^2-a+1\\
y=2ax-2a^2-x+a+a^2-a+1\\
y=x(2a-1)-a^2+1\)

\(g'(x)=x-1\\
g'(b)=b-1\\
y=(b-1)(x-b)+\frac{1}{2}b^2-b+2\\
y=(b-1)x-b^2+b+0,5b^2-b+2\\
y=(b-1)x-0,5b^2+2\)

to są te same proste, więc
\(\begin{cases}2a-1=b-1\\-a^2+1=-0,5b^2+2\end{cases}\\
\begin{cases}b=2a\\-a^2+1=-0,5\cdot 4a^2+2\end{cases}\\
\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}\;\;\vee\;\;\begin{cases}a=-1\\b=-2\end{cases}\)

styczne:
\(y=x\\
y=-3x\)