funkcja, logarytmy i parametr

[rubbishbin_]

Dla jakich wartości parametru a iloczyn różnych miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem
\(f(x) = {\log}^{2}_{3}x - ({a}^{2}-a) {\log}_{3}x +1-a \) jest równy 9?

Więc tak, zdecydowanie pogubiłam się w tym zadaniu, widziałam niektóre rozwiązania, ale nie do końca to wszystko rozumiem, więc w miarę możliwości prosiłabym o rozwiązanie z wytłumaczeniem krok po kroku. Moim pierwszym odruchem było podstawienie \({ \log }_{3}x = t\), delta większa od zera itd. Problem zaczyna się przy iloczynie. Mam jeszcze pytanie, czy musimy jakoś uwzględnić, że x>0?

[eresh]

Dla jakich wartości parametru a iloczyn różnych miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem
\(f(x) = {\log}^{2}_{3}x - ({a}^{2}-a) {\log}_{3}x +1-a \) jest równy 9?

Więc tak, zdecydowanie pogubiłam się w tym zadaniu, widziałam niektóre rozwiązania, ale nie do końca to wszystko rozumiem, więc w miarę możliwości prosiłabym o rozwiązanie z wytłumaczeniem krok po kroku. Moim pierwszym odruchem było podstawienie \({ \log }_{3}x = t\), delta większa od zera itd. Problem zaczyna się przy iloczynie. Mam jeszcze pytanie, czy musimy jakoś uwzględnić, że x>0?

\(x_1x_2=9\\
\log_3(x_1x_2)=\log_39\\
\log_3x_1+\log_3x_2=2\)


\(\log_3x=t, x>0\\
t^2-(a^2-a)t+1-a=0\\
t_1+t_2=2\)

\(\frac{a^2-a}{1}=2\\
a^2-a-2=0\\
a=2\;\;\vee\;\;a=-1\)

\(\Delta>0\\
(a^2-a)^2-4(1-a)>0\)
wystarczy sprawdzić, które \(a\) spełnia nierówność

\(a=2:\\
(4-2)^2-4(1-2)>0\\
8>0\)
prawda

\(a=-1\\
(1-1)^2-4(1+1)>0\\
-8>0\)
sprzeczność

Odpowiedź: \(a=2\)