styczne + wyznaczanie współrzędnych

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Tlentoazot
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 24 kwie 2020, 09:22
Podziękowania: 3 razy

styczne + wyznaczanie współrzędnych

Post autor: Tlentoazot »

Dana jest funkcja f(x)= 2x^2+1

a) napisz równania stycznych do wykresu funkcji w punktach o odciętych x1=-1 x2=1 oraz oblicz pole trójkąta ograniczonego tymi stycznymi i osią OX

b) Wyznacz współrzędne punktów A i B tak, aby styczne do wykresu funkcji w tych punktach przecinające się w punkcie C=(0,c) tworzyły kąt prosty. Podaj równania tych stycznych.

Obliczyłam, że równania stycznych to:
w punkcie x1 : y= -4x-2
w punkcie x2 : y= 4x-2
Narysowałam sb te styczne na wykresie ale nie wiem jak ten trójkąt wyznaczyć i proszę o jakieś wskazówki do podpunktu b
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Re: styczne + wyznaczanie współrzędnych

Post autor: Galen »

a) Równanie stycznych:
przez \( P_1(-1;3)\;\; oraz\;\; P_2(1;3)\) mają postać
\(y=-4x-1\\y=4x-1\)
Pole trójkąta pod osią OX
\(4x-1=0\\x=\frac{1}{4}\\
podstawa \;a=2*1/4=1/2\;\;\;\;\;\;\;\;\
Wysokość\;trójkąta\;\;\;\;\;\;\;\;\;h=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Pole\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
P_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{4}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: styczne + wyznaczanie współrzędnych

Post autor: kerajs »

b)
Skoro styczne przecinają się na osi symetrii paraboli, to one także są wzajemnie symetryczne względem tej osi symetrii. Ponieważ kąt między stycznymi jest prosty, to są one nachylone do osi pod kątem 45 stopni, czyli ich współczynniki kierunkowe to 1 i -1.
Równania stycznych:
\( s_1 : \ \ y-f( \frac{1}{4} )=1(x- \frac{1}{4} ) \\
s_2 : \ \ y-f( \frac{-1}{4} )=-1(x- (\frac{-1}{4}) ) \)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Re: styczne + wyznaczanie współrzędnych

Post autor: Galen »

b)
Proste tworzące kąt prosty
\(y=1x+c\;\; \perp \;\;y=-1x+c\)
Styczne,więc mają jeden punkt wspólny z parabolą.
Wystarczy obliczyć współrzędne jednego punktu styczności,bo drugi jest symetryczny względem osi OY.
\( \begin{cases} y=x+c\\y=2x^2+1\end{cases}\)

\(2x^2+1=x+c\\2x^2-x+1-c=0\)
Jedno rozwiązanie,więc delta musi mieć wartość zero
\( \Delta =1-4 \cdot 2 \cdot (1-c)=8c-7\\8c-7=0\\c= \frac{7}{8}\)
Styczne mają równania
\(y=x+ \frac{7}{8}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;y=-x+ \frac{7}{8}\)
Współrzędne punktów styczności A i B policzysz z układu równań
\(\begin{cases}y=2x^2+1\\y=x+\frac{7}{8} \end{cases}\)
\(2x^2+1=x +\frac{7}{8}=0\\ 2x^2-x+ \frac{1}{8}=0\\x_1= \frac{1}{4}\;\;\;to \;\;\;y_1= \frac{9}{8}\\A=( \frac{1}{4}; \frac{9}{8})\\symetryczny\;\;punkt\;\;B\\B=(- \frac{1}{4}; \frac{9}{8})\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: styczne + wyznaczanie współrzędnych

Post autor: kerajs »

Skoro w pierwszej odpowiedzi współczynniki kierunkowe wyliczono z pochodnej, to tu z pochodnej szybciej wyznaczy się punkty styczności.
Np.:
\(f'(x_0)=1\\
4x_0=1\\
x_0=\frac14\)
ODPOWIEDZ