Zadanie z dzieleniem wielomianów

[kamiluc]

Witam wszystkich przeglądających forum i jednocześnie proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Reszta z dzielenia wielomianu \( W(x) = x^4+x+3 \) Przez wielomian \(P(x) \) jest równa \(x+4\), zaś reszta z dzielenia wielomianu \(H(x) = x^4+x^3-x^2+2\) przez ten sam wielomian \(P(x) \) jest równa \(x+2\). Wyznacz wielomian \(P(x)\) wiedząc że współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej w tym wielomianie jest równy \(1\).

Bardzo dziękuje za każdą okazaną chęć pomocy

[eresh]

\(W(x)=x^4+x+3=x^4+x+4-1=x^4-1+x+4=(x^2+1)(x^2-1)+x+4=Q(x)P(x)+R_1\\
H(x)=x^4+x^3-x^2+2=x^4+x^3-x^2-x+x+2=x^3(x+1)-x(x+1)+x+2=\\=(x+1)(x^3-x)+x+2=x(x+1)(x^2-1)+x+2=U(x)V(x)P(x)+R_2\\
P(x)=x^2-1\)

[Jerry]

\( \begin{cases}x^4+x+3\equiv P(x)\cdot Q_1(x)+x+4 \\
x^4+x^3-x^2+2\equiv P(x)\cdot Q_2(x)+x+2 \end{cases} \)
odejmując stronami:
\(x^3-x^2-x-1\equiv P(x)\cdot \left(Q_2(x)-Q_1(x)\right)-2\)
czyli
\(P(x)\cdot Q_3(x)\equiv x^3-x^2-x+1\)
ale
\(x^3-x^2-x+1\equiv(x-1)^2(x+1)\)
pozostaje sprawdzić, ile to \(P(x)\), byleby stopnia co najmniej drugiego

Pozdrawiam