Pytanie o okresowość funkcji trygonometrycznych

[Enjot]

Jest równanie:
cos(x)=cos(1/2*x)

Rozwiązanie:
cos(x)-cos(1/2*x)=0
-2*sin(3/4*x)sin(1/4*x)=0
sin(3/4x)sin(1/4x)=0

sin(3/4*x)=0 lub sin(1/4*x)=0
3/4*x=0+kπ lub 1/4*x=0+kπ // k należy do liczb całkowitych
x=4/3*kπ lub x=4*kπ
x=4/3*kπ - koniec zadania // drugie rozwiązanie zawiera się w pierwszym

Przy wyznaczaniu x dodaje się okresowość funkcji zaznaczoną pogrubioną czcionką.
Nie wiem tylko dlaczego akurat kπ. Okresowość cos(x) to 2kπ a cos(1/2x) to 4kπ. Może ktoś wyjaśnić?

[kerajs]

Okresowość cos(x) to 2kπ a cos(1/2x) to 4kπ. Może ktoś wyjaśnić?

\(\cos \frac{x}{2}=\cos ( \frac{x}{2}+k \cdot 2 \pi )=\cos \left[ \frac{1}{2} \left( x+k \cdot 4 \pi \right) \right] \)
inny przykład:
\(\tg ( \pi x)= \tg ( \pi x+k \cdot \pi )=\tg \pi (x+k \cdot 1) \)
gdzie okres podstawowy to 1.

sin(3/4*x)=0 lub sin(1/4*x)=0

Rozwiążę lewe równanie, dodając pomocnicze podstawienie \(t= \frac{3x}{4} \).
\(\sin t=0\)
\(t=0+k2 \pi \vee t= \pi -0+k2 \pi \)
co mogę zapisac jako:
\(t=k \pi \\
\frac{3x}{4}=k \pi \\
x=k \frac{4 \pi }{3} \)