granica funkcji

[Ichigo0]

Witam. Proszę o wytłumaczenie przykładu. O funkcji f wiadomo że \(\Lim_{x\to -\infty}f(x)=0 \) wynika z tego że
A.\(\Lim_{x\to -\infty} \frac{1}{f(x)}=\infty\)
B. \(\Lim_{x\to -\infty} \frac{1}{f(x)}=\infty \)
C. \(\Lim_{x\to \infty} f(-x)=0\)
D. \(\Lim_{x\to \infty} f(x)=0\)

[grdv10]

Poprawna jest odpowiedź C. Podstaw \(-x=t\).

[Ichigo0]

A możesz to wyjaśnić łopatologicznie?

[Galen]

W propozycji A oraz B masz \(\frac{1}{0^+}\;\;\;lub\;\;\;\;\frac{1}{0^-}\;\;\;czyli\;\;\;+\infty\;\;lub\;\;-\infty\)

Tu wyniki nie są jednoznaczne,bo do zera można zmierzać z lewej,bądź z prawej strony,czyli po wartościach ujemnych,bądź po wartościach dodatnich.

[Ichigo0]

Galen to chyba już rozumiem. Dlaczego podpunkt C jest poprawny? Co wychodzi w podpunkcie D i czemu?

[radagast]

W podpunkcie D nic nie wychodzi. Wiemy tylko , że granica funkcji w minus nieskończoności to 0.
Nie daje to żadnych podstaw do wnioskowania jaka jest granica funkcji w plus nieskończonościał
A dlaczego C jest poprawna , to już Ci napisał szw1710:
\(0= \Lim_{x\to - \infty } f(x)= \begin{vmatrix}t=-x\\x=-t \end{vmatrix} = \Lim_{t\to \infty } f(-t)= \Lim_{x\to \infty } f(-x)=0\)

[Ichigo0]

Mam odpowiedzi do tego zadania, ale ich nie rozumiem. W związku z tym doprecyzuję moje pytania. W załączniku rozwiązanie wraz
z moimi wątpliwościami dotyczącymi rozwiązania.https://zapodaj.net/1367d58094f4a.jpg.html Przepraszam za zaistniałe zamieszanie.

[Galen]

\(\Lim_{x\to -\infty}2^x= \Lim_{x\to \infty}2^{-x}= \Lim_{x\to \infty}\frac{1}{2^x}=\frac{1}{+\infty}=0\)

[Ichigo0]

A dlaczego akurat -t dąży do nieskończoności i czemu potem t dąży do minus nieskończoność i dlaczego wszystko to równe jest zeru
Nie wiem od czego zależy że wyjsciowa granica dąży do minus nieskończoności albo do plus nieskończoności

[radagast]

O tym czy t dąży do plus, czy do minus nieskończoności decyduje ten, kto zadaje pytanie .
Odpowiadający może kombinować tak; podstawię sobie zamiast t (które dąży do \(+ \infty \)) -x i wtedy x dąży do \(- \infty \)...

[Ichigo0]

A dlaczego ta granica przy t jest równa zeru?

[radagast]

\(0= \Lim_{x\to - \infty } f(x)= \begin{vmatrix}t=-x\\x=-t \end{vmatrix} = \Lim_{t\to \infty } f(-t)= \Lim_{x\to \infty } f(-x)=0\)
na lewo patrz

[Galen]

Założenie:
\( \Lim_{x\to-\infty }f(x)=0\)
Wykaż,że
\( \Lim_{x\to +\infty}f(-x)=0\)

Podstaw: \( \begin{cases} x=-t\\-x=t\end{cases}\)
Wtedy jest \(x \to -\infty\\-x \to +\infty\\czyli\\-t \to -\infty\\t \to \infty\)
Obliczasz
\( \Lim_{x\to+\infty } f(-x)= \Lim_{-x\to-\infty }f(-x)= \Lim_{t\to-\infty }f(t)=(z\;założenia\;)=0\)