wielomiany kilka zadań

[Niepokonana]

witam
Proszę o pomoc i dokładne wyjaśnienie, jak zrobić te zadania.
1. Ustal dla jakich wartości parametru \(m\) jedynym rozwiązaniem równania \(-3x^{3}+x^{2}+2m=0\) jest liczba \(m\)
2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(w\) przez dwumian \(p\), jeżeli \(p(x)=x-3\), a reszta z dzielenia \(w\) przez \(2x^{2}-5x-3\) jest równa \(5-x\).
3. Rozwiąż równanie \(x^{3}+2x^{2}+|5x+10|=0\).
4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) wielomian \(w(x)=(x+2)^{2n}+(x+3)^{n}-1\) jest podzielny przez \(x^{2}+5x+6\)

[panb]

witam
Proszę o pomoc i dokładne wyjaśnienie, jak zrobić te zadania.
1. Ustal dla jakich wartości parametru \(m\) jedynym rozwiązaniem równania \(-3x^{3}+x^{2}+2m=0\) jest liczba \(m\)

Liczba \(m \) ma być rozwiązaniem, więc po wstawieniu \(m \)w miejsce iksa otrzymujemy
\(-3m^3+m^2+2m=0 \iff m(-3m^2+m+2)=0 , \quad \left[ \Delta=1+24=25, \,\,\, m_1=1, \,\,\, m_2=- \frac{2}{3} \right] \)
Oznacza to, że w trzech przypadkach rozwiązaniem tego równania jest liczba \(m\).
Ale czy jest jedynym rozwiązaniem?

Jeśli \(m=0 \So -3x^3+x^2=0 \text{ dla } x=0=m \text{ oraz dla } x= \frac{1}{3}\neq m \), czyli nie jest jedynym rozwiązaniem.
Jeśli \(m=1 \So -3x^3+x^2+2=0 \text{ dla } x=1=m \text{ oraz dla } x= -\frac{2}{3}\neq m\), czyli nie jest jedynym rozwiązaniem.
Jeśli \(m=- \frac{2}{3} \So -3x^3+x^2- \frac{4}{3} =0 / \cdot (-3) \iff 9x^3-3x^2+4= 0\). Wiemy, że jednym z rozwiązań jest \(x=- \frac{2}{3}=m \), więc dzieląc \((9x^3-3x^2+4): \left(x+ \frac{2}{3} \right)\) możemy rozłożyć ten trójmian na czynniki. \((9x^3-3x^2+4): \left(x+ \frac{2}{3} \right)=9x^2-9x+6,\quad \left[\Delta=81-4 \cdot 9 \cdot 6<0 \right] \), więc równanie \(9x^2-9x+6=0\) nie ma rozwiązań, a to oznacza, że równanie \(-3x^3+x^2- \frac{4}{3} =0\) ma tylko jedno rozwiązanie \(x=-\frac{2}{3}=m\).

Wobec tego dla \( m=- \frac{2}{3}\) równanie \(-3x^3+x^2+2m=0\) ma jedno rozwiązanie równe \(m\).

Wystarczająco dokładnie wyjaśnienie?

[Niepokonana]

Tak, dokładne, dziękuję i proszę o pozostałe 3 zadania.

[panb]

2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(w\) przez dwumian \(p\), jeżeli \(p(x)=x-3\), a reszta z dzielenia \(w\) przez \(2x^{2}-5x-3\) jest równa \(5-x\).

Fakty:
1. Reszta z dzielenia wielomianu \(w\) przez dwumian \(p =x-3\) jest równa \( w(3)\) - wniosek z twierdzenia Bezout'a
2. Jeśli reszta z dzielenia \(w\) przez \(2x^{2}-5x-3\) jest równa \(5-x\), to \(w(x)=q(x)(2x^2-5x-3)+5-x\)

Korzystając z faktu nr 1, mamy \(w(3)=q(3)(2 \cdot 3^2-5 \cdot 3-3)+5-3=q(x) \cdot 0+2=2\) i to jest szukana reszta.

Odpowiedź: Reszta z dzielenia wielomianu \(w \) przez dwumian \(p\) jest równa 2.

A to wystarczająco dokładnie?

[panb]

3. Rozwiąż równanie \(x^{3}+2x^{2}+|5x+10|=0\).

\(x^{3}+2x^{2}+|5x+10|=0 \iff x^3+2x^2+5|x+2|=0\)

1. \(x\le -2\\
   x^3+2x^2+5|x+2|=0 \iff x^3+2x^2-5x-10=0 \iff x^2(x+2)-5(x+2)=0 \iff \\ \iff (x+2)(x^2-5)=0 \So
   x=-2 \le-2,\,\,\, x=-\sqrt5 \le -2 \text{ lub } x=\sqrt5>-2\)
   W obszarze I rozwiązaniami są liczby \(x=-2 \text{ oraz } x=-\sqrt5\)
2. \(x>-2\\
   x^3+2x^2+5|x+2|=0 \iff x^3+2x^2+5x+10=0 \iff (x+2)(x^2+5)=0 \So x=-2 \not{>} -2\)
   W obszarze II nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: \(x^3+2x^2+5|x+2|=0 \iff x\in\{-2,-\sqrt5\}\)

[Niepokonana]

Dobrze, tylko dlaczego zakresy są takie a nie inne? No bo mi się wydaje, że powinno być inaczej.

[kerajs]

4.
\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\\
\\
w(-2)=....=0\\
w(-3)=....=0\)

[Niepokonana]

Tak, tylko nie rozumiem tych zakresów w trzecim, dlaczego akurat dwa skoro dla iksa będącego dwójką wartość bezwzględna jest różna od zera?

[panb]

Nie 2, TYLKO MINUS 2. No to pomyłka, nie widzisz, że potem wszędzie już jest (-2).

[Niepokonana]

No tak myślałam, tylko nie wiedziałam, jak poprawić, dziękuję bardzo za pomoc.
Tylko czemu tak agresywnie?

[korki_fizyka]

No tak myślałam, tylko nie wiedziałam, jak poprawić, dziękuję bardzo za pomoc.
Tylko czemu tak agresywnie?

Współczynnik wyrozumiałości tutejszych pomagaczy po trzecim zadaniu spada do zera, a u mnie nawet po pierwszym

[Niepokonana]

Dzięki, że mi to mówisz dopiero teraz

[korki_fizyka]

No bo mi się wydaje, że powinno być inaczej.

Nobo to był bohater podręcznika do matematyki dla klasy czwartej SP i Ty bardzo go przypominasz

[Jerry]

Nobo to był bohater podręcznika do matematyki dla klasy czwartej SP

Łezka w oku mi się zakręciła na wspomnienie radosnej twórczości doc.(wówczas) Wacka Zawadowskiego... A była to bardzo fajna, niespotykana dzisiaj, twórczość!

Pozdrawiam serdecznie

[edited] poprawa formatu

[Niepokonana]

Niestety, ale nie każdy ma tak dobrego polonistę, jak Ty miałeś. Nie wiem, kto jest Twoim polonistą, ale daj namiary, bo chciałabym korepetycje u niego.
Dobra, nie róbmy offtopicu.