Wyznacz ekstrema lokalne funkcji (o ile istnieją) \(f(x) = \frac{|x^2+2x-3|}{x^2}\)
Wyznaczyłem pochodną:
\(f'(x) = \begin{cases}
\frac{-2x+6}{x^3} \quad \text{jeśli} \quad x \in (-\infty, -3> \cup <1, +\infty) \\
\frac{2x-6}{x^3} \quad \text{jeśli} \quad x \in (-3, 0) \cup (0, 1)
\end{cases}\)
Potem sprawdziłem punkty krytyczne dla każdego przedziału:
1) \(x \in (-\infty, -3> \cup <1, +\infty)\\
f_{max}(3) = \frac{4}{3}\)
2) \(x \in (-3, 0) \cup (0, 1)\)
Żaden z punktów krytycznych nie należy do tego zbioru.
W odpowiedziach jest \(f_{min}(-3) = 0, f_{min}(1) = 0, f_{max}(3)=\frac{4}{3}\)
Nie wiem skąd bierze się to -3 i 1. Z góry dziękuję za pomoc.
Ekstrema lokalne funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 27
- Rejestracja: 20 lut 2019, 17:00
- Podziękowania: 2 razy
- Płeć:
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 23 kwie 2012, 07:41
- Podziękowania: 14 razy
- Otrzymane podziękowania: 19 razy
- Płeć:
Funkcja jest ciągła w punktach -3 i 1 (punkty zmiany wzoru - zbadać ciągłość!). Liczymy pochodną w przedziałach otwartych (!) i badamy, czy dla x = -3 i dla x = 1 pochodna istnieje. Nie istnieje w obu punktach (pochodne lewo i prawostronne są różne), ale przy przejściu przez nie zmienia znak, tu w obu z ujemnego na dodatni, więc funkcja osiąga minimum dla x = -3 i x = 1.
Punkty krytyczne to nie tylko te, w których pochodna się zeruje, ale także te, w których funkcja jest ciągła, a pochodna nie istnieje. Jeżeli zmienia w nich znak, co widać, jak naszkicujemy wykres pochodnej, uwzględniając starannie przedziały, to istnieje tam ekstremum. Na wykresie funkcji są to takie ostre punkty
Punkty krytyczne to nie tylko te, w których pochodna się zeruje, ale także te, w których funkcja jest ciągła, a pochodna nie istnieje. Jeżeli zmienia w nich znak, co widać, jak naszkicujemy wykres pochodnej, uwzględniając starannie przedziały, to istnieje tam ekstremum. Na wykresie funkcji są to takie ostre punkty