Nierówność trygonometryczna

[not_a_genius]

Rozwiąż nierówność

\(\ctg(x + \frac{2\pi}{3}) <\sqrt{3} \qquad x \in<-\pi,0>\)

Mi wychodzi \(x \in ( \frac{-9\pi}{6} \, \frac{-2\pi}{3})\), a powinno wyjść \(x \in < -\pi, \frac{-2\pi}{3}) \cup (\frac{-\pi}{2}, \, \frac{\pi}{2}>\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[eresh]

Rozwiąż nierówność

\(\ctg(x + \frac{2\pi}{3}) <\sqrt{3} \qquad x \in<-\pi,0>\)

Mi wychodzi \(x \in ( \frac{-9\pi}{6} \, \frac{-2\pi}{3})\), a powinno wyjść \(x \in < -\pi, \frac{-2\pi}{3}) \cup (\frac{-\pi}{2}, \, \frac{\pi}{2}>\)

Z góry dziękuję za pomoc.

Ogólnie rozwiązaniem byłby przedział \((-\frac{9\pi}{6}+k\pi, \frac{-2\pi}{3}+k\pi), k\in\mathbb{C}\), ale Ty masz w zadaniu ograniczyć się do przedziału \([0,\pi]\). Wybieramy ze wszystkich rozwiązań te, które należą do tego przedziału

dla \(k=0\) mamy \(( \frac{-9\pi}{6} \, \frac{-2\pi}{3})\), a w naszym przedziale jest tylko \([-\pi,-\frac{2\pi}{3})\)
dla \(k=1\) mamy \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3})\), w przedziale zawarty jest zbiór \((-\frac{\pi}{2},0]\)
dla \(k=2\) rozwiązania nie należą do \([-\pi,0]\)

Odp. \(x \in < -\pi, \frac{-2\pi}{3}) \cup (\frac{-\pi}{2}, \, 0>\)

[Młodociany całkowicz]

Niech \(t = x+\frac{2\pi}{3}\)
Narysuj sobie wykres funkcji ctg w przedziale \([-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}]\).
\(ctg(-\frac{\pi}{3}) < ctg(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3}\)
Ponadto ctg maleje do osobliwości w t = 0, więc wszystkie t z przedziału \([-\frac{\pi}{3};0]\) spełniają naszą nierówność.
Dla t wyższych od zera ctg znów startuje od nieskończoności i osiąga \(\sqrt{3}\) dla \(t = \frac{\pi}{6}\).
Później ctg maleje do kolejnej osobliwości w \(t = \pi\)
Tak więc mamy już zbiór t spełniających nierówność:
\(t\in[-\frac{\pi}{3};0) \cup(\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}]\)
\(x + \frac{2\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3};0) \cup(\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}]\)
\(x\in[-\pi;-\frac{2\pi}{3}) \cup(-\frac{\pi}{2};0]\)

[not_a_genius]

Dziękuję. Teraz wszystko jest jasne