pochodna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wmichal
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 25 mar 2019, 22:02
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

pochodna

Post autor: wmichal » 08 maja 2019, 20:28

Czy mógłby mi ktoś pokazać prawidłowe rozwiązanie pochodnej w obydwu przypadkach? w pierwszym przypadku zawsze rozwiązywałem pochodną samego licznika i liczyłem ekstrema po prostu przyrównując licznik pochodnej do zera natomiast wiem że też powinno się uwzględnić mianownik jako pierwiastek podwójny jednak nie wiem jak to zapisać aby na maturze dostać pełną punktację. Drugi przykład jest podobny tyle że bez pierwiastka, co trzeba w nim zrobić aby wszystko było ok?

Obrazek

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 08 maja 2019, 20:40

W ogóle nie rozumiem pytania! Jeśli liczyłeś tylko pochodna licznika, to nie liczyłeś pochodnej funkcji f tylko innej.
Wzór na pochodną ilorazu każe robić tak \(\left( \frac{f}{g}\right)'= \frac{f'g-g'f}{g^2}\) i inaczej nie można.
Szukając miejsc zerowych pochodnej zajmujemy się samym licznikiem, bo to licznik ma być równy zero (a mianownik wręcz przeciwnie).

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: Scino » 08 maja 2019, 20:43

\(f'(x)= \frac{(-x^3-2x^2+4x+8)' \cdot (x^2+4+4)-(x^2+4x+4)' \cdot (-x^3-2x^2+4x+8)}{(x+2)^4}= \frac{(-3x^2-4x+4)(x^2+4x+4)-(2x+4)(-x^3-2x^2+4x+8)}{(x+2)^4}=\)
\(\frac{-x^4-8x^3-24x^2-32x-16}{(x+2)^4}\)
i dopiero teraz szukasz miejsc zerowych.

edit: część ułamka mi ucięło
Ostatnio zmieniony 08 maja 2019, 20:51 przez Scino, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 08 maja 2019, 20:45

\(f(x)= \frac{-x^3-2x^2+4x+8}{x+2} \So f'(x)= \frac{(-3x^2-4x+4)(x+2)-(-x^3-2x^2+4x+8)}{(x+2)^2}=\ldots =-2x\)

wmichal
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 25 mar 2019, 22:02
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: wmichal » 08 maja 2019, 20:52

przepraszam was bardzo, zle sformulowalem moje pytanie. Mam na mysli liczenie ekstremow lokalnych w takim przypadku gdy po obliczeniu pochodnej wychodza wlasnie takie pochodne jak na zdjeciu, jak w takich wypadkach uwzglednich to co jest w mianowniku aby otrzymać maksymalna ilosc punktow?

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: Scino » 08 maja 2019, 20:54

Wtedy możesz już normalnie liczyć miejsca zerowe funkcji w liczniku. Oczywiście uważając na dziedzinę. Wydaję mi się, że warto też dodać jakiś stosowny komentarz, aby było wiadome dlaczego nagle "zniknął" Ci mianownik. Jeżeli jednak zależy Ci na stwierdzeniu czy jest to maksimum czy minimum lokalne to w drugim przypadku masz trochę utrudnione zadanie (w pierwszym mianownik jest zawsze dodatni), ja bym rozbił to na dwa przypadki - w zależności od tego czy mianownik jest dodatni czy ujemny.

Ale w tym przypadku chyba nie ma takiego problemu bo wyrażenie da się uprościć.

wmichal
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 25 mar 2019, 22:02
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: wmichal » 08 maja 2019, 21:22

rozumiem, ale w pierwszym przykladzie musze chyba uwzglednic przy przyrownywaniu do 0 i rysowaniu wykresu funkcji wielomianowej że x=-2 jest pierwiastkiem dodatnim czy nie ma takiej potrzeby?

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: Scino » 08 maja 2019, 21:54

Nie bardzo rozumiem pytanie (chyba chodziło Ci o pierwiastek podwójny). Tak przy okazji tutaj też się skróci do postaci \(-x+2\), ale jeżeli nic by się nie uprościło to musisz uwzględnić to, że jest podwójny jeżeli zależy Ci na stwierdzeniu czy jest to minimum czy maksimum.

wmichal
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 25 mar 2019, 22:02
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: wmichal » 08 maja 2019, 22:15

no wlasnie o to mi chodzi jak to uwzglednic? bo jesli sie nie skroci to w mianowniku zostaje wlasnie np. (x+2)^2 a w liczniku mam jakiś tam wielomian. Zawsze po prostu w tym wypadku przyrównywałem sam licznik do 0 bo stwierdzałem że mianownik jest dodatni więc go nawet nie ruszam. Jak to rozpisać w takim wypadku aby uwzględnić również ten mianownik?

wmichal
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 25 mar 2019, 22:02
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: wmichal » 08 maja 2019, 22:26

spójrz na przykład tu, wlasnie rozwiazuje zadanie optymalizacyjne z matury 2018 i doszedłem do takiego momentu. Przyrównałem po prostu licznik do zera nie uwzględniając wcale mianownika, czy zrobiłem to dobrze czy jednak powinienem w jakis sposob uwzglednic że 0 jest pierwiastkiem podwójnym ponieważ a^2 jest w mianowniku? jeśli tak to jak to prawidłowo rozpisac?
Obrazek

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 08 maja 2019, 22:35

jeżeli tylko przyrównujesz do zera to jest ok, ale jeśli masz liczyć ekstrema to
\(f'(x)>0\iff \frac{4a^2-8}{a^2}>0\iff 4(a^2-2)a^2>0\iff (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})a^2>0\iff x\in (-\infty, -\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)\\
f'(x)<0\iff \frac{4a^2-8}{a^2}>0\iff x\in (-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})\)

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: Scino » 08 maja 2019, 22:35

Tak - dziedzinę ogranicza. Ale nie zmienia nic w monotoniczności funkcji.