pochodna

[wmichal]

Czy mógłby mi ktoś pokazać prawidłowe rozwiązanie pochodnej w obydwu przypadkach? w pierwszym przypadku zawsze rozwiązywałem pochodną samego licznika i liczyłem ekstrema po prostu przyrównując licznik pochodnej do zera natomiast wiem że też powinno się uwzględnić mianownik jako pierwiastek podwójny jednak nie wiem jak to zapisać aby na maturze dostać pełną punktację. Drugi przykład jest podobny tyle że bez pierwiastka, co trzeba w nim zrobić aby wszystko było ok?

[panb]

W ogóle nie rozumiem pytania! Jeśli liczyłeś tylko pochodna licznika, to nie liczyłeś pochodnej funkcji f tylko innej.
Wzór na pochodną ilorazu każe robić tak \(\left( \frac{f}{g}\right)'= \frac{f'g-g'f}{g^2}\) i inaczej nie można.
Szukając miejsc zerowych pochodnej zajmujemy się samym licznikiem, bo to licznik ma być równy zero (a mianownik wręcz przeciwnie).

[Scino]

\(f'(x)= \frac{(-x^3-2x^2+4x+8)' \cdot (x^2+4+4)-(x^2+4x+4)' \cdot (-x^3-2x^2+4x+8)}{(x+2)^4}= \frac{(-3x^2-4x+4)(x^2+4x+4)-(2x+4)(-x^3-2x^2+4x+8)}{(x+2)^4}=\)
\(\frac{-x^4-8x^3-24x^2-32x-16}{(x+2)^4}\)
i dopiero teraz szukasz miejsc zerowych.

edit: część ułamka mi ucięło

[panb]

\(f(x)= \frac{-x^3-2x^2+4x+8}{x+2} \So f'(x)= \frac{(-3x^2-4x+4)(x+2)-(-x^3-2x^2+4x+8)}{(x+2)^2}=\ldots =-2x\)

[wmichal]

przepraszam was bardzo, zle sformulowalem moje pytanie. Mam na mysli liczenie ekstremow lokalnych w takim przypadku gdy po obliczeniu pochodnej wychodza wlasnie takie pochodne jak na zdjeciu, jak w takich wypadkach uwzglednich to co jest w mianowniku aby otrzymać maksymalna ilosc punktow?

[Scino]

Wtedy możesz już normalnie liczyć miejsca zerowe funkcji w liczniku. Oczywiście uważając na dziedzinę. Wydaję mi się, że warto też dodać jakiś stosowny komentarz, aby było wiadome dlaczego nagle "zniknął" Ci mianownik. Jeżeli jednak zależy Ci na stwierdzeniu czy jest to maksimum czy minimum lokalne to w drugim przypadku masz trochę utrudnione zadanie (w pierwszym mianownik jest zawsze dodatni), ja bym rozbił to na dwa przypadki - w zależności od tego czy mianownik jest dodatni czy ujemny.

Ale w tym przypadku chyba nie ma takiego problemu bo wyrażenie da się uprościć.

[wmichal]

rozumiem, ale w pierwszym przykladzie musze chyba uwzglednic przy przyrownywaniu do 0 i rysowaniu wykresu funkcji wielomianowej że x=-2 jest pierwiastkiem dodatnim czy nie ma takiej potrzeby?

[Scino]

Nie bardzo rozumiem pytanie (chyba chodziło Ci o pierwiastek podwójny). Tak przy okazji tutaj też się skróci do postaci \(-x+2\), ale jeżeli nic by się nie uprościło to musisz uwzględnić to, że jest podwójny jeżeli zależy Ci na stwierdzeniu czy jest to minimum czy maksimum.

[wmichal]

no wlasnie o to mi chodzi jak to uwzglednic? bo jesli sie nie skroci to w mianowniku zostaje wlasnie np. (x+2)^2 a w liczniku mam jakiś tam wielomian. Zawsze po prostu w tym wypadku przyrównywałem sam licznik do 0 bo stwierdzałem że mianownik jest dodatni więc go nawet nie ruszam. Jak to rozpisać w takim wypadku aby uwzględnić również ten mianownik?

[wmichal]

spójrz na przykład tu, wlasnie rozwiazuje zadanie optymalizacyjne z matury 2018 i doszedłem do takiego momentu. Przyrównałem po prostu licznik do zera nie uwzględniając wcale mianownika, czy zrobiłem to dobrze czy jednak powinienem w jakis sposob uwzglednic że 0 jest pierwiastkiem podwójnym ponieważ a^2 jest w mianowniku? jeśli tak to jak to prawidłowo rozpisac?

[eresh]

jeżeli tylko przyrównujesz do zera to jest ok, ale jeśli masz liczyć ekstrema to
\(f'(x)>0\iff \frac{4a^2-8}{a^2}>0\iff 4(a^2-2)a^2>0\iff (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})a^2>0\iff x\in (-\infty, -\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)\\
f'(x)<0\iff \frac{4a^2-8}{a^2}>0\iff x\in (-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})\)

[Scino]

Tak - dziedzinę ogranicza. Ale nie zmienia nic w monotoniczności funkcji.