Witam, nie zgadza mi się wynik z odpowiedzią do tego równania.
\(\Lim_{n\to + \infty }\) (3n + \(\frac{ \sqrt{9n^2-1} - 3n^2}{n+2}\)) = ponoć 9.
Mi wychodzi +\(\infty\)
Byłbym wdzięczny za podpowiedź/ rozwiązanie.
Granica funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Sprowadź do wspólnego mianownika,a potem wyłącz n w liczniku i w mianowniku i skróć ułamek.
\(3n+ \frac{ \sqrt{9n^2-1}-3n^2 }{n+2}= \frac{3n(n+2)+ \sqrt{9n^2-1}-3n^2 }{n+2}= \frac{3n^2+6n+ \sqrt{9n^2-1}-3n^2 }{n+2}=\\= \frac{6n+ \sqrt{9n^2-1} }{n+2}= \frac{n(6+ \sqrt{9- \frac{1}{n^2}) } }{n(1+ \frac{2}{n}) }\)
Granica
\(\Lim_{n\to\infty } \frac{6+ \sqrt{9- \frac{1}{n^2} } }{1+ \frac{2}{n} }= \frac{6+3}{1}=9\)
\(3n+ \frac{ \sqrt{9n^2-1}-3n^2 }{n+2}= \frac{3n(n+2)+ \sqrt{9n^2-1}-3n^2 }{n+2}= \frac{3n^2+6n+ \sqrt{9n^2-1}-3n^2 }{n+2}=\\= \frac{6n+ \sqrt{9n^2-1} }{n+2}= \frac{n(6+ \sqrt{9- \frac{1}{n^2}) } }{n(1+ \frac{2}{n}) }\)
Granica
\(\Lim_{n\to\infty } \frac{6+ \sqrt{9- \frac{1}{n^2} } }{1+ \frac{2}{n} }= \frac{6+3}{1}=9\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Dziękuje obu Wam za odpowiedź 
Moglibyście jeszcze podpowiedzieć, gdzie w tych rachunkach w takim razie znajduje się błąd?
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \((3n + \frac{ \sqrt{9n^2-1} - 3n^2}{n+2} )\) = \((3n + \frac{ \sqrt{9n^2( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{9n^2}) } - 3n^2}{n+2} = 3n+ \frac{3n-3n^2}{n+2}) = 3n + \frac{n^2( \frac{3}{n} -3)}{n^2( \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} )}= 3n-3 = + \infty\)
Moglibyście jeszcze podpowiedzieć, gdzie w tych rachunkach w takim razie znajduje się błąd?
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \((3n + \frac{ \sqrt{9n^2-1} - 3n^2}{n+2} )\) = \((3n + \frac{ \sqrt{9n^2( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{9n^2}) } - 3n^2}{n+2} = 3n+ \frac{3n-3n^2}{n+2}) = 3n + \frac{n^2( \frac{3}{n} -3)}{n^2( \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} )}= 3n-3 = + \infty\)