Jak to jest z tymi ekstremami?

[kostek525]

Cześć

Za miesiąc będę pisał maturę z rosz. z matmy i prosiłbym, aby ktoś mi rozjaśnił rolę esktremów w zadaniach optymalizacyjnych.
Mianowicie, w jaki sposób mogę udowodnić, że funkcja jednej zmiennej, np. V(x) (od objętości) osiąga całkowite, globalne minimum w danym minimum lokalnym?
Nauczycielka w mojej klasie mat-fiz, zaleca robienie tabelek przebiegu zmienności funkcji. Każe zaznaczać na tej tabelce w którym miejscu funkcja rośnie, do którego argumentu, jaką wartość ma funkcja w tych kluczowych x-ach, itp. Ogółem - według mnie zajmuje to, definitywnie, zbyt dużo czasu.
Ostatnio zrobiła nam maturę próbną, w której było właśnie takie typowe zadanie optymalizacyjne. Trzeba było obliczyć największą możliwą objętość graniastosłupa. Standardowo, sprowadziłem wzór na objętość do funkcji jednej zmiennej i policzyłem pochodną. Nastepnie - w którym miejscu ta pochodna się zeruje. I teraz pojawia się pierwszy problem - gdy przykładowo, mam założenie, że x jest liczbą dodatnią mniejszą od 10, a dwa z trzech miejsc zerowych są liczbami ujemnymi - jak mam to zapisać? Może być po prostu \(x=-3 \notin D\)? Następnie, posiadawszy wszystkie miejsca zerowe funkcji, rysuję jej podglądowy wykres. Patrzę w którym miejscu funkcja zmienia znak z dodatniego na ujemny - takich miejsc mam często np. 2, przykładowo, funkcja zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=5 i x=-5, jednak rzecz jasna, pod uwagę biorę tylko tego x-a, który należy do dziedziny. Jeżeli wszystko się zgadza, to zapisuję następujące zdanie stwierdzenie : Funkcja V'(x) zmienia znak z dodatniego na ujemny w x=5, osiąga także w tym wartość równą 0, zatem osiąga w tym miejscu maksimum.
Czy coś takiego wystarczy? Nauczycielka przekreśliła mi to czerwonym długopisem i obok nakreśliła zarys tabelki, jak mniemam sugerując, że powinienem opierać się na tejże właśnie tabeli zmienności funkcji, a nie na warunku koniecznym istnienia ekstremum. Odjęty mi został za to także 1 punkt.
Czy aby w pełni merytorycznie poprawnie zapisać rozwiązanie takiego zadania, powinienem oprócz tego warunku koniecznego zapisać jeszcze coś dodatkowego, np. zrobić tę nieszczęsną tabelę, albo jakieś granice funkcji? Jak to powinno wyglądać, aby było w 100% poprawnie?

Tak, wiem, trochę się rozpisałem.

[Scino]

Ja piszę swoją za rok, ale wydaje mi się, że będziesz mógł spać spokojnie, jeżeli na maturze rozwiążesz poprawnie zadanie bez użycia jakiejś tabelki. Jeżeli pochodna ma \(3\) miejsca zerowe, z czego jedno nie należy do dziedziny to według mnie wystarczy w zupełności komentarz, który napisałeś.

[Galen]

Tabelka jest przydatna do pełnego badania przebiegu zmienności funkcji.
W Twoim przypadku wyznacza się ekstrema w określonej dziedzinie.
Konieczne są zapisy:
\(V(x)=\;wzór\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\in (przedział)\)
\(V'(x)=\;obliczenie\;i\;wzór\\V'(x)=0\;\;\; \iff \;\;\;\;wzór=0\;\;\;\;i\;\;\;\;x\in D_V\)
\(V'(x)<0\;\;\;\;lub\;\;\;\;V'(x)>0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\in D_V\)
Na koniec piszesz stwierdzenie :
\(V'(5)=0\;\;i\;\;\;pochodna \;zmienia\;znak\;z\;dodatniego \;na\;ujemny\;\)
Funkcja V(x) osiąga maksimum równe V(5)
\(V_{Max}=V(5)=...\)

[kostek525]

@Galen

Dzięki, czyli z tego co zrozumiałem, punkt odjęty niesłusznie, bo napisalem, oprócz \(V'(x)<0 i V'(x)>0\) wszystko to co ty.

A jak będzie z obliczaniem pochodnej ze wzoru, który jest pierwiastkiem?
Rzecz jasna, zawsze chcę unikać obliczania pochodnej funkcji złożonej, tylko nie bardzo wiem, jak wyjaśnić to, że do obliczenia max/min potrzebuję wyłącznie samej funkcji podpierwiastkowej?
Czy może to być takie stwierdzenie? : "\(V(x)= \sqrt{f(x)}\), funkcja V(x) osiąga ekstrema dla tych samych argumentów, co f(x), zatem wystarczy, że obliczę ekstrema f(x)"?

I kolejne pytanie - Co jeśli moją dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych? np. W dowodach algebraicznych, gdzie mam udowodnić nierówność, że jakieś tam wyrażenie wielomianowe jest \(\ge 0\)
Od pewnego czasu robię takie dowody wyliczając minima funkcji od takiego wyrażenia, po czym udowadniam, że skoro najmniejsza wartość funkcji to np. 0, to nierówność jest prawdziwa.
Czy wtedy należy liczyć jeszcze jakieś granice itp?

[Młodociany całkowicz]

Co do pierwszego pytania
Generalnie takie rozumowanie jest poprawne. Jeżeli jednak to ci nie wystarczy, to możesz zastosować wzór na pochodną funkcji złożonej:

\(\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}.\)

Dla przykładu:

\(\frac{d(\sqrt{f(x)})}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot \frac{df(x)}{dx}\)

Co do drugiego pytania,
Musisz wyliczyć nie tylko minima, ale też granice w nieskończoności i minus nieskończoności. Jeśli te granice są nieujemne i ekstrema są nieujemne, dopiero wówczas możesz stwierdzić, że funkcja jest nieujemna dla wszystkich liczb rzeczywistych.

[kostek525]

Co do pierwszego pytania
Generalnie takie rozumowanie jest poprawne. Jeżeli jednak to ci nie wystarczy, to możesz zastosować wzór na pochodną funkcji złożonej:

\(\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}.\)

Dla przykładu:

\(\frac{d(\sqrt{f(x)})}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot \frac{df(x)}{dx}\)

Co do drugiego pytania,
Musisz wyliczyć nie tylko minima, ale też granice w nieskończoności i minus nieskończoności. Jeśli te granice są nieujemne i ekstrema są nieujemne, dopiero wówczas możesz stwierdzić, że funkcja jest nieujemna dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Ale obliczanie granic muszę wykonać tylko, gdy mam dziedzinę jako R? A jeśli mam dziedzinę np x należy do (0,c) gdzie c jest przeciwprostokątną jakiegoś trójkąta, to wtedy nie muszę?

[Galen]

Jeśli \(D_f=(0;c)\),to liczysz granice na końcach...
\(\Lim_{x\to 0^+}f(x)=....\\ \Lim_{x\to c^-}f(x)=...\)