Zbiór wartości

[hehebela]

Wykaż, że zbiorem wartości funkcji f(x)=\(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\) jest zbiór <\(\frac{1}{2}\);\(\frac{3}{2}\)>

[Galen]

\(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=a\)
Dla jakich wartości a równanie ma rozwiązanie...
\(x^2+x+1=ax^2+a\\ax^2-x^2-x-1+a=0\\(a-1)x^2-x+(a-1)=0\\\Delta=1-4(a-1)^2 \ge 0\\-4a^2+8a-3 \ge 0\)
\(\Delta_a=64-48=16=4^2\\a_1= \frac{-8+4}{-8}= \frac{1}{2}\\a_2= \frac{3}{2}\\a \in < \frac{1}{2}; \frac{3}{2}>\)
Prosta \(y=a\) ma co najmniej jeden punkt wspólny z wykresem funkcji \(f(x)= \frac{x^2+x+1}{x^2+1}\)
gdy a przyjmuje wartości od 1/2 do 3/2.

[radagast]

Albo tak:
\(f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=1+ \frac{x}{x^2+1}\)
Rozważmy funkcję \(g(x)=\frac{x}{x^2+1}\).
\(g'(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0 \iff x= \pm 1\)
\(g'(x)>0 \iff x \in (-1,1)\)
Zatem \(g_{min}=g(-1)= -\frac{1}{2} \\g_{max}=g(1)= \frac{1}{2}\)
No to \(f_{min}=f(-1)= 1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\\f_{max}=f(1)=1+ \frac{1}{2}= \frac{3}{2}\)
a więc jako funkcja ciągła \(f\) przyjmuje wszystkie wartości w zbiorze \(\left\langle \frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right\rangle\) i tylko tam. CBDO

[Galen]

Radagast,trzeba jeszcze dorzucić \(\Lim_{x\to \pm \infty }f(x)=1\)

[radagast]

Tak, trzeba jeszcze to dorzucić.