Funkcja wykładnicza
: 19 mar 2010, 11:07
Hej mam kilka zadanek z funkcji wykładniczej z którymi nie potrafię sobie poradzić. Czy byłby ktoś tak super miły i pomógł mi w ich rozwiązaniu? Oto one:
1. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb \(a \in R_{+}, k,n \in R\) zachodzi równość
\((a^{n}+ \frac{1}{a^{n}})(a^{k}+ \frac{1}{a^{k}})=a^{n+k}+ \frac{1}{a^{n+k}}+a^{n-k}+ \frac{1}{a^{n-k}}\)
Wykorzystując tę równość i wiedząc, że \(a+ \frac{1}{a}=3\) oblicz: \(a^{5}+ \frac{1}{a^{5}}\)
2. Funkcja f okreslona jest wzorem \(f(x)=|5^{x}+b|\), gdzie b jest pewną liczbą rzeczywistą.
a) Znajdź argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość \(\sqrt{5 \frac{19}{25} }\), jeśli \(b=-2,6\)
b) Określ liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od wartości parametru m wiedząc, że \(b\) jest liczbą ujemną
3. Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=6^{x}-6^{-x}\).
a) Wykaż, że funkcja f dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości
b) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(6^{n} \cdot f(n)\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb nieparzystych
4. Funkcja f określona jest wzorem \(3^{x}+3^{-x}\)
a) Uzasadnij, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi \(OY\)
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji
5. Wyznacz te wartości parametru k, dla których funkcja \(f(x)=2^{x^{2}+kx+k}\) nie przyjmuje wartości mniejszych od 1
6. Ustal liczbę rozwiązań równania \(3^{x} \cdot (x+3)=x+6\)
7. Dane jest równanie \(x^{2}+(9^{a}=3^{a})x+27^{a}=0\), w którym niewiadomą jest \(x\). Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie
Z góry bardzo dziękuje za wszelaką pomoc w rozkminieniu tych zadanek.
Obiecuje "+"iki
1. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb \(a \in R_{+}, k,n \in R\) zachodzi równość
\((a^{n}+ \frac{1}{a^{n}})(a^{k}+ \frac{1}{a^{k}})=a^{n+k}+ \frac{1}{a^{n+k}}+a^{n-k}+ \frac{1}{a^{n-k}}\)
Wykorzystując tę równość i wiedząc, że \(a+ \frac{1}{a}=3\) oblicz: \(a^{5}+ \frac{1}{a^{5}}\)
2. Funkcja f okreslona jest wzorem \(f(x)=|5^{x}+b|\), gdzie b jest pewną liczbą rzeczywistą.
a) Znajdź argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość \(\sqrt{5 \frac{19}{25} }\), jeśli \(b=-2,6\)
b) Określ liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od wartości parametru m wiedząc, że \(b\) jest liczbą ujemną
3. Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=6^{x}-6^{-x}\).
a) Wykaż, że funkcja f dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości
b) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(6^{n} \cdot f(n)\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb nieparzystych
4. Funkcja f określona jest wzorem \(3^{x}+3^{-x}\)
a) Uzasadnij, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi \(OY\)
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji
5. Wyznacz te wartości parametru k, dla których funkcja \(f(x)=2^{x^{2}+kx+k}\) nie przyjmuje wartości mniejszych od 1
6. Ustal liczbę rozwiązań równania \(3^{x} \cdot (x+3)=x+6\)
7. Dane jest równanie \(x^{2}+(9^{a}=3^{a})x+27^{a}=0\), w którym niewiadomą jest \(x\). Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie
Z góry bardzo dziękuje za wszelaką pomoc w rozkminieniu tych zadanek.
Obiecuje "+"iki