Witam, proszę o pomoc z metodą wyznaczania pochodnej funkcji:
\(f(x) = \frac{1}{ln^{2}x}\). Robię to następująco:
\(f'(x) = \frac{-1}{ln^{4}x} \cdot \ 4ln^{3}x \ \cdot \ \frac{1}{x}\)
Gdzie leży mój błąd?
Pochodna funkcji.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Pochodna funkcji.
Obliczyłem pochodną i drugą pochodną, są to kolejno:
\(f'(x) = \frac{2}{x \cdot \ln ^{3}x}\) oraz \(f''(x) = \frac{2 \ln x + 6}{x^{2} \cdot \ln ^{4}x}\)
Chcąc zbadać znak pochodnej:
\(f'(x) = 0 \iff \frac{2}{x \cdot \ln ^{3}x} = 0\) Na zajęciach miałem powiedziane, że jeżeli pochodna nie zawiera nieparzystych potęg pierwiastka to \(D = D'\), tutaj ten pierwiastek się pojawił więc wyliczyłem dziedzinę i jest ona równa dziedzinie funkcji pierwotnej. Stąd jak postępować dalej? Warunek \(f'(x) = 0\) nie będzie spełniony. Z drugą pochodną zrobiłem tak samo (ten sam warunek), później mam naszkicować tabelę zmienności, ale bez tego nie mogę przystąpić do szkicowania.
Z góry dziękuję za pomoc.
\(f'(x) = \frac{2}{x \cdot \ln ^{3}x}\) oraz \(f''(x) = \frac{2 \ln x + 6}{x^{2} \cdot \ln ^{4}x}\)
Chcąc zbadać znak pochodnej:
\(f'(x) = 0 \iff \frac{2}{x \cdot \ln ^{3}x} = 0\) Na zajęciach miałem powiedziane, że jeżeli pochodna nie zawiera nieparzystych potęg pierwiastka to \(D = D'\), tutaj ten pierwiastek się pojawił więc wyliczyłem dziedzinę i jest ona równa dziedzinie funkcji pierwotnej. Stąd jak postępować dalej? Warunek \(f'(x) = 0\) nie będzie spełniony. Z drugą pochodną zrobiłem tak samo (ten sam warunek), później mam naszkicować tabelę zmienności, ale bez tego nie mogę przystąpić do szkicowania.
Z góry dziękuję za pomoc.
Dziękuję Panu za wskazówki. Obliczyłem miejsce zerowe drugiej pochodnej i jest ono równe \(e^{-3}\).
Przyrównując \(f''(x) = 0 \iff \frac{2 \ln x + 6}{x^{2} \cdot \ln ^{4}x} = 0\),
zatem \(f''(x)>0 \iff x > e^{-3} \\f''(x)<0 \iff 0<x<e^{-3}\)
(narysowałem oś, prostą przechodzącą przez miejsce zerowe i wydzialającą przedziały mniejsze i większe od zera?)
/błąd, chyba powinno to wyglądać tak:
\(f''(x)>0 \iff 0<x<e^{-3}\) i \(x>1\)
\(f''(x)<0 \iff e^{-3}<x<1\)
Przyrównując \(f''(x) = 0 \iff \frac{2 \ln x + 6}{x^{2} \cdot \ln ^{4}x} = 0\),
zatem \(f''(x)>0 \iff x > e^{-3} \\f''(x)<0 \iff 0<x<e^{-3}\)
(narysowałem oś, prostą przechodzącą przez miejsce zerowe i wydzialającą przedziały mniejsze i większe od zera?)
/błąd, chyba powinno to wyglądać tak:
\(f''(x)>0 \iff 0<x<e^{-3}\) i \(x>1\)
\(f''(x)<0 \iff e^{-3}<x<1\)
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re:
zatem \(f''(x)>0 \iff x > e^{-3} \\f''(x)<0 \iff 0<x<e^{-3}\)
To niby skąd się wzięło? Powyżej jest OK \(f''(x)>0 \iff e^{-3}<x<1 \vee x>1\)
To jest źle.
/błąd, chyba powinno to wyglądać tak:
\(f''(x)>0 \iff 0<x<e^{-3}\) i \(x>1\)
\(f''(x)<0 \iff e^{-3}<x<1\)
To niby skąd się wzięło? Powyżej jest OK \(f''(x)>0 \iff e^{-3}<x<1 \vee x>1\)
To jest źle.
/błąd, chyba powinno to wyglądać tak:
\(f''(x)>0 \iff 0<x<e^{-3}\) i \(x>1\)
\(f''(x)<0 \iff e^{-3}<x<1\)
No tak, chyba widzę swój błąd. Po doprowadzeniu równania do postaci:
\((2lnx+6)(x^{2} \cdot ln^4x) = 0\) nie wziąłem pod uwage krotności pierwiastków.
W \(x = 0\) oraz \(x = 1\) wykres "odbija się" stąd ten przedział, który Pan podał.
Ostatecznie dla \(f''(x) < 0\) będzie to wyglądało: \(0<x< e^{-3}\).
\(f''(x)>0 \iff e^{-3}<x<1 \vee x>1\).
\((2lnx+6)(x^{2} \cdot ln^4x) = 0\) nie wziąłem pod uwage krotności pierwiastków.
W \(x = 0\) oraz \(x = 1\) wykres "odbija się" stąd ten przedział, który Pan podał.
Ostatecznie dla \(f''(x) < 0\) będzie to wyglądało: \(0<x< e^{-3}\).
\(f''(x)>0 \iff e^{-3}<x<1 \vee x>1\).