Granice i pochodne - kilka zadań

[SomeUser]

Niby proste, ale jakoś mi to nie idzie:
1) oblicz granice
\(\Lim_{x\to 1+} \frac{x}{x^2-4x+3}\)
\(\Lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2}\)
\(\Lim_{x\to 3-} \frac{x}{9-x^2}\)

2) Zbadaj ciągłość funkcji f w punkcie \(x_0\), jeżeli
\(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}\ \ \ \ \ dla\ x \ \neq 2\\ -4\ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x = 2\end{cases}\) ,\(x_0=2\)
3) Wyznacz pochodną: \(f(m) = x^3 + mx^2 + (m^2 + 1)x +m^3 + 2\)
4) znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\), która jest równoległa do prostej \(y = 8x - 1\),\(f(x) = x^2 + 1\).
Proszę o rozwiązania krok po kroku.

[radagast]

\(\Lim_{x\to 1+} \frac{x}{x^2-4x+3}\)

\(\Lim_{x\to 1+} \frac{x}{x^2-4x+3}= \frac{1}{0^-} =- \infty\)

\(\Lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2}\)

\(\Lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2}= \frac{-2}{0^-} =- \infty\)

\(\Lim_{x\to 3-} \frac{x}{9-x^2}\)

\(\Lim_{x\to 3-} \frac{x}{9-x^2}= \frac{3}{0^+} = \infty\)

[radagast]

2)\(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}\ \ \ \ \ dla\ x \ \neq 2\\ -4\ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x = 2\end{cases}= \begin{cases} x+2\ \ \ \ \ dla\ x \ \neq 2\\ -4\ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x = 2\end{cases}\)
\(\Lim_{x\to 2} f(x)=4 \neq -4=f(2)\)
nie jest ciągła w 2 (nieciągłość usuwalna).

[radagast]

3)
\(f(m) = x^3 + mx^2 + (m^2 + 1)x +m^3 + 2\)
\(f(m) = x^3 + mx^2 + m^2x + x +m^3 + 2\)
\(f'(m) = x^2 +2mx +3m^2\)

[radagast]

4) \(f'(x)=2x\)
\(2x=8 \iff x=4\)
zatem punkt styczności to \(\left( 4,17\right)\)
styczna \(y=8x+b\) przechodzi przez punkt styczności czyli \(b=-15\)
odp: \(y=8x-15\)