Granica, reguła de l'Hospitala

[sarkakoparka]

Nie jestem pewna, czy dobrze obliczyłam granicę w dwóch przykładach, mianowicie:
1) \(\lim_{x \to 0^-}\frac{\cos x}{x^{3}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{x^{3}}\)

2) \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{x-\frac{\pi}{2}} \right)\)

w 1) uzyskałam wynik:
\(\frac{1}{2}+\lim_{x \to 0}\frac{-\sin x}{3x^{2}}\)=\(= \frac{1}{2}+ \lim_{x \to 0}\frac{-\cos x}{6x}\)
w treści zadania jest jeszcze zaznaczone, że \(x\) ma być mniejszy od \(0\), więc granica to będzie (tak nieformalnie) \(\frac{1}{2} + \frac{-1}{0} =- \infty\)?

a w drugim przykładzie:
najpierw uprościłam
\(=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{2x-\pi-2\cos x}{(2x-\pi) \cdot \cos x}\)

potem zrobiłam pochodne:

\(=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{2\sin x+2}{2\cos x-(2x-\pi)\sin x}\)
i według mnie granica to \(\frac{2}{2-0\cdot 0}\) czyli po prostu \(1\).

czy się mylę?

bardzo proszę o odpowiedź

[radagast]

1) wynik OK (rozważania trochę niezrozumiałe)
2) wynik z błędem na samym końcu (rozważania czytelne) .Powinna wyjść nieskończoność (z lewej +, z prawej - )

[sarkakoparka]

nadal nie wiem, gdzie dokładnie w drugim mam błąd... jeśli granica jest \(\frac{2}{2}\) to nie powinno być 1?
dlaczego powinna wyjść nieskończoność?

[radagast]

dlaczego powinna wyjść nieskończoność?

\(=\Lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{2\sin x+2}{2\cos x-(2x-\pi)\sin x}= \frac{2 \cdot 1+2}{2 \cdot 0-(2 \cdot \frac{\pi}{2}-\pi) \cdot 1 }= \frac{4}{0} =...\) (znak tej nieskończoności ustal sobie sama)