Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których...

[kostek525]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie z niewiadomą x,
\(3|x-3| = 12m-4m^2\) ma dwa różne rozw. dodatnie

Jak robić takie zadanka? Krok po kroku

[Galen]

Narysuj wykres funkcji \(f(x)=3|x-3|=|3x-9|\)
Prosta pozioma przetnie ten wykres w dwóch punktach pierwszej ćwiartki (x>0),gdy jej równanie to \(y=t\;\;\; i\;\;\; t\in (0;9)\\t=12m-4m^2\\-4m^2+12m>0\;\;\;\;i\;\;\;\;-4m^2+12m<9\)
\(-m(m-3)>0\;\;\;\;\;-4m^2+12m-9< 0\\m\in (0;3)\;\;\;i\;\;\;\;m\in (- \infty ; \frac{3}{2}) \cup ( \frac{3}{2};+ \infty )\)
W części wspólnej jest
\(m\in (0; \frac{3}{2}) \cup ( \frac{3}{2};3)\)

[kostek525]

Narysuj wykres funkcji \(f(x)=3|x-3|=|3x-9|\)
Prosta pozioma przetnie ten wykres w dwóch punktach pierwszej ćwiartki (x>0),gdy jej równanie to \(y=t\;\;\; i\;\;\; t\in (0;9)\\t=12m-4m^2\\-4m^2+12m>0\;\;\;\;i\;\;\;\;-4m^2+12m<9\)
\(-m(m-3)>0\;\;\;\;\;-4m^2+12m-9< 0\\m\in (0;3)\;\;\;i\;\;\;\;m\in (- \infty ; \frac{3}{2}) \cup ( \frac{3}{2};+ \infty )\)
W części wspólnej jest
\(m\in (0; \frac{3}{2}) \cup ( \frac{3}{2};3)\)

Dzięki, wszystko zrozumiałe.
Liczbę >0 mogę włączyć pod moduł bez konsekwencji, a zgaduję, że liczby ujemnej już nie mogę?

I drugie pytanie, ten sposób jest klarowny i zrozumiały, ale co jeśli mam funkcje trudne do narysowania w układzie, np. jakieś homograficzne przeusnięte o wektor itp da się wtedy to zrobić jakoś szybciej jakimś algebraicznym sposobem?

[Galen]

Niestety graficzny sposób jest najprostszy.Trzeba tylko szkicować wykres z dużą dokładnością,zwracając uwagę na f(0),miejsca zerowe,czyli punkty przecięcia z osiami,jeszcze na asymptoty...
Metoda algebraiczna jest pracochłonna...Trzeba definiować moduł i prowadzić rachunki w zależności,czy pod
modułem jest wartość dodatnia,czy niedodatnia...Łatwo o pomyłki i szkoda czasu...

[kostek525]

Mam podobne zadanko

\(\frac{m-x+2}{4-x}=2x+3\)

I teraz mam narysować wykres funkcji f(m)=k, gdzie k to liczba rozwiązań tego górnego równanka w zależności od parametru m
No to od razu założyłem, że x=4 nie należy do dziedziny funkcji po czym pomnożyłem obie strony przez (4-x)
Po przekształceniach wyszło mi :
\(-2x^2+6x+10=m\)
No to teraz z górki, narysowałem sobie tę parabolę.
Jej wierzchołek miał współrzędne \(( \frac{3}{2};14,5)\)
Zaznaczyłem sobie kółkiem bez środka, miejsce, w którym funkcja przyjmuje wartość dla argumentu x=4, gdyż jest on wydalony z dziedziny. Było to f(4)=2
k=0 dla \(m \in(14,5; \infty)\)
k=2 dla \(m \in(- \infty,2) \cup (2, \frac{29}{2})\)
I teraz ta kontrowersyjna rzecz. Według odpowiedzi, powinno być :
k=1 dla \(m \in \left\{14,5 \right\}\)
A według mnie :
k=1 dla \(m \in \left\{2;14,5 \right\}\) gdyż w y=2 funkcja ma przecież nadal jedno rozwiązanie, po jednej stronie osi jest x=4, które owszem, zostało wydalone, ale przecież po drugiej stronie jest jeszcze symetrycznie drugie rozwiązanie, ujemne, jeśli się nie mylę.

Kto ma rację, ja czy podręcznik?

[Galen]

\(f(m)=2\;\;\;gdy\;\;\;m\in (- \infty ;2) \cup (2;14 \frac{1}{2})\\f(m)=1\;\;\;gdy\;\;\;\;m \in \left\{ 14 \frac{1}{2} ;2\right\}\\f(m)=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;m\in (14 \frac{1}{2};+ \infty )\)
Sprawdź swoją rację podstawiając za m liczbę 2
\(\frac{2-x+2}{4-x}=2x+3\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x \neq 4\\2x+3=1\\2x=-2\\x_1=-1\)
Pokazujesz,że jest jedno rozwiązanie dla m=2,a to dowodzi błąd w podręczniku.