Suma funkcji

[Kowal1998]

Dane są funkcje f(x)= \(\log_ \frac{1}{2}\)x oraz g(x)= \(\log _3\)x dla x\(\in\)\(\rr ^+\)
kiedy suma funkcji f(x) i g(x) przyjmuje wartości dodatnie?

[kerajs]

\(x \in \rr _+ \\
f(x)+g(x)= \frac{\log_3x}{\log_3 \frac{1}{3} } +\log_3x=( \frac{1}{-1}+1) \log_3x=0\)

Suma jest funkcją stałą która nigdy nie przyjmuje wartości dodatnich.


EDIT
Powyższe rozwiązanie byłoby prawdziwe dla \(f(x)=\log_{ \frac{1}{3} }x\).
Przepraszam, sadziłem że właśnie taką funkcję widzę.

[Galen]

Warto przejść na logarytmy dziesiętne...
\(f(x)+g(x)=log_{ \frac{1}{2} }x+log_3x= \frac{logx}{log0,5}+ \frac{logx}{log3}=\\= \frac{log3 \cdot logx+log0,5 \cdot logx}{log0,5 \cdot log3}= \frac{logx(log3+log0,5)}{log0,5 \cdot log3}=\\= \frac{logx \cdot log1,5}{log0,5 \cdot log3}\)
Mianownik jest iloczynem liczby ujemnej \(log0,5<0\) i liczby dodatniej \(log3>0\),zatem ma wartość ujemną.
Cały ułamek będzie dodatni,gdy licznik też będzie ujemny.
\(logx \cdot log1,5<0\;\;\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;\;logx<0\\czyli\\x\in (0;1)\)
Pomocny będzie wykres funkcji y=log x.Miejsce zerowe to x=1,więc na prawo od jedynki funkcja ta ma wartości dodatnie ...