Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora

[marex692]

Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora [3,1,2] i odległej od punktu (1,0,-2) o 3.

[kerajs]

\(\vec{PP'}=3 \cdot \left[ \frac{3}{ \sqrt{14} }, \frac{1}{ \sqrt{14} }, \frac{-2}{ \sqrt{14} } \right] \So P'= \left( \frac{9}{ \sqrt{14} }+3, \frac{3}{ \sqrt{14} }, \frac{-6}{ \sqrt{14} } -2\right) \\
\pi ' \ : \ \ 3(x- (\frac{9}{ \sqrt{14} }+3))+1(y- \frac{3}{ \sqrt{14} })+2(z- (\frac{-6}{ \sqrt{14} } -2))=0\\
\\
\vec{PP''}=-3 \cdot \left[ \frac{3}{ \sqrt{14} }, \frac{1}{ \sqrt{14} }, \frac{-2}{ \sqrt{14} } \right] \So P''= \left( \frac{-9}{ \sqrt{14} }+3, \frac{-3}{ \sqrt{14} }, \frac{6}{ \sqrt{14} } -2\right) \\
\pi '' \ : \ \ 3(x- (\frac{-9}{ \sqrt{14} }+3))+1(y- \frac{-3}{ \sqrt{14} })+2(z- (\frac{6}{ \sqrt{14} } -2))=0\)

[radagast]

Nie bardzo rozumiem tego, co kerajs napisał...
Moje rozumowanie jest takie:
szukana płaszczyzna ma równanie postaci:
\(3x+y+2z+D=0\)
Odległość punktu \((1,0,-2)\) od tej płaszczyzny to \(\frac{3-4+D}{ \sqrt{9+1+4} }= \frac{D-1}{ \sqrt{14} }\)
\(\frac{D-1}{ \sqrt{14} }=3 \iff D=3 \sqrt{14}+1\)
zatem szukana płaszczyzna ma równanie \(3x+y+2z+3 \sqrt{14}+1=0\)

[kerajs]

Widzę, że trochę pomieszałem współrzędne wektora i punktu.
Napiszę co chciałem zrobić.
1. Unormowanie podanego wektora normalnego płaszczyzny [3,1,2].
\(\vec{ n_u}= \frac{ \vec{ n}}{| \vec{ n}|} = \left[ \frac{3}{ \sqrt{14} } , \frac{1}{ \sqrt{14} } , \frac{2}{ \sqrt{14} } \right]\)
2)
Istnieją dwa punkty (P' i P'') odległe o 3 od punktu P w kierunku wektora n.
Stąd:
\(\vec{PP'}=3 \cdot \vec{ n_u}\\
\vec{PP'}=3 \cdot \left[ \frac{3}{ \sqrt{14} }, \frac{1}{ \sqrt{14} }, \frac{2}{ \sqrt{14} } \right] \\
P'= \left( \frac{9}{ \sqrt{14} }+1, \frac{3}{ \sqrt{14} }+0, \frac{6}{ \sqrt{14} } -2\right) \\
\\
\\
\vec{PP''}=-3 \cdot \vec{ n_u}\\
\vec{PP''}=-3 \cdot \left[ \frac{3}{ \sqrt{14} }, \frac{1}{ \sqrt{14} }, \frac{2}{ \sqrt{14} } \right] \\
P''= \left( \frac{-9}{ \sqrt{14} }+1, \frac{-3}{ \sqrt{14} }+0, \frac{-6}{ \sqrt{14} } -2\right)\)

3)
Istnieją dwie płaszczyzny spełniające zadanie.
Pierwsza zawiera punkt P' i ma równanie:
\(\pi ' \ : \ \ 3(x- (\frac{9}{ \sqrt{14} }+1))+1(y- \frac{3}{ \sqrt{14} })+2(z- (\frac{6}{ \sqrt{14} }-2 )=0\\
\pi ' \ : \ \ 3x+y+2z-3 \sqrt{14}+1=0\)
Druga zawiera punkt P'' i ma równanie:
\(\pi '' \ : \ \ 3(x- (\frac{-9}{ \sqrt{14} }+1))+1(y- \frac{-3}{ \sqrt{14} })+2(z- (\frac{-6}{ \sqrt{14} }-2 )=0\\
\pi '' \ : \ \ 3x+y+2z+3 \sqrt{14}+1=0\)

Przepraszam za zamieszanie.

PS
Koleżanka Radagast też dostanie dwie płaszczyzny jeśli wzór na odległość punktu od prostej uzupełni o opuszczoną wartość bezwzględną.

[radagast]

PS
Koleżanka Radagast też dostanie dwie płaszczyzny jeśli wzór na odległość punktu od prostej uzupełni o opuszczoną wartość bezwzględną.

No pewnie , że tak


szukana płaszczyzna ma równanie postaci:
\(3x+y+2z+D=0\)
Odległość punktu \((1,0,-2)\) od tej płaszczyzny to \(\frac{|3-4+D|}{ \sqrt{9+1+4} }= \frac{|D-1|}{ \sqrt{14} }\)
\(\frac{|D-1|}{ \sqrt{14} }=3 \iff |D-1|=3 \sqrt{14} \iff D=1+3 \sqrt{14}\ \vee \ D=1-3 \sqrt{14}\)
zatem szukana płaszczyzna ma równanie \(3x+y+2z+1+3 \sqrt{14}=0\) lub \(3x+y+2z+1-3 \sqrt{14}=0\)

[plexx]

dzieki za rozwiazanie zadania