Zbiór wartości funkcji

[matirafal1]

Jak obliczyć zbiór wartości funkcji \(\frac{x^2+1}{x}\) z klasy I bez użycia pochodnych i asymptot.
Znam odpowiedź, ale jak to wyliczyć.
Niby można napisać \(\frac{x^2+1}{x}=x +\frac{1}{x}\) ale co dalej?
Można też \(\frac{x^2+1}{x}= \frac{(x+1)^2}{x}-2\) oraz \(\frac{x^2+1}{x}= \frac{(x-1)^2}{x}+2\)
ale to też nic nie daje.
Przypominam I klasa liceum.

[kerajs]

`1)
zał: x>0
\(f(x)=x+ \frac{1}{x}=2 \cdot \frac{x+ \frac{1}{x} }{2} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x} } =2\)
średnia arytmetyczna jest tu równa średniej geometrycznej dla \(x= \frac{1}{x}\) czyli dla \(x=1\)
Wniosek:
Dla dodatnich argumentów zbiorem wartości funkcji są liczby niemniejsze od 2, a minimum równa 2 osiąga dla x=1.
2)
\(-f(-x)=-(-x+ \frac{1}{-x} )=f(x)\)
Wniosek:
Funkcja jest nieparzysta więc dla ujemnych argumentów zbiorem jej wartości są liczby niewiększe od -2, a maksimum równe -2 osiąga dla x=-1.

[matirafal1]

`1)
zał: x>0
\(f(x)=x+ \frac{1}{x}=2 \cdot \frac{x+ \frac{1}{x} }{2} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x} } =2\)
średnia arytmetyczna jest tu równa średniej geometrycznej dla \(x= \frac{1}{x}\) czyli dla \(x=1\)
Wniosek:
Dla dodatnich argumentów zbiorem wartości funkcji są liczby niemniejsze od 2, a minimum równa 2 osiąga dla x=1.

Czyli zawsze mam porównywac średnią arytmetyczną z geometryczną?
Czy ta metoda zawsze skutkuje?

[Galen]

Aby ustalić zbiór wartości funkcji wystarczy obliczyć dla jakich wartości m prosta y=m ma punkty wspólne z wykresem
funkcji \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\),Wtedy zbiór tych m jest zbiorem wartości funkcji f.
W tym celu rozważasz równanie z parametrem m.
\(\frac{x^2+1}{x}=m\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\neq 0\\x^2+1=mx\\x^2-mx+1=0\\\Delta=m^2-4\\\Delta \ge 0\;\;\;\;gdy\;\;\;m^2-4 \ge 0\\czyli\\m\in (- \infty ;-2> \cup <2;+ \infty )\)
Każda prosta pozioma o równaniu y=m ma punkty wspólne z wykresem funkcji f,a to oznacza,że funkcja f
przyjmuje wartości od \(- \infty\) do (-2) oraz od 2 do \(+ \infty\)

Jeśli \(m\in (-2;2)\) to równanie f(x)=m nie ma rozwiązania,bo delta <0.
Oznacza to,że ten przedział (-2;2) nie zawiera wartości funkcji f.