Granica ciągu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Granica ciągu

Post autor: Januszgolenia »

Korzystając z odpowiednich definicji, wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n= \frac{n^2+1}{n}\) jest rozbieżny do \(+ \infty\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Należy pokazać, że
\(\displaystyle \forall M>0 \ \ \exists n_0 : n>n_0 \So \frac{n^2+1}{n}>M\)
No to do dzieła:
Niech \(M>2\) . (Jeśli nie, to \(n_0 =0\))
\(\frac{n^2+1}{n}>M \iff\\
n^2+1>nM \iff \\
n^2-nM+1>0\iff \\
n^2-2n \frac{M}{2} +1>0 \iff \\
\left(n- \frac{M}{2} \right) ^2- \frac{ M^2}{4}+1>0 \iff \\
\left(n- \frac{M}{2} \right) ^2> \frac{ M^2}{4}-1 \iff \\
n > \sqrt{ \frac{ M^2}{4}-1}+ \frac{M}{2} \\\)

niech \(n_0= \left[\sqrt{ \frac{ M^2}{4}-1}+ \frac{M}{2} \right]+1\) wtedy, dla \(n>n_0,\ \ \ \frac{n^2+1}{n}>M\)
CBDO
ODPOWIEDZ