Funkcja trygonometryczna - dziedzina?

[Kamila38]

Hej, mam problem z wyznaczaniem dziedziny czy też rozwiązań równań i nierówności gdy dany jest np cos 3x, sin2x itp i zazwyczaj z podanym przedzialem. Otóż wtedy ta funkcja się zawęża i w danym przedziale (np. Od -π do
π) łapie się wiecej rozwiązań. W jaki sposób wydobyć te wszystkie rozwiązania 3x, 2x w takim przedziale bez mozolnego rysowania i zazywczaj niedokladnego rysowania? Czy to trzeba pisać np π/2 + kπ/2 i poskładać pod k liczby calkowite i sprawdzać czy wynik mieści się w przedziale? Będę wdzięczna za pomoc

[radagast]

To się samo robi. Np:
\(\sin 3x= \frac{1}{2}\)
\(3x= \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee \ \ 3x= \pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ \ \ k \in C\)
\(3x= \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee \ \ 3x= \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ \ \ k \in C\) dzieląc obustronnie przez 3 otrzymuję:
\(x= \frac{\pi}{18}+ \frac{2k\pi}{3} \ \ \vee \ \ x= \frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\ \ \ k \in C\)
No i się "zagęściło" (czy tak jak Ty to nazwałaś "zawężyło")
Dziedzina - analogicznie.

[Kamila38]

Tak, tak to rozumiem, tylko załóżmy, że mam napisać rozwiązania od <-2pi , 2pi>? Wtedy funkcja się zwęża i w tym przedziale zmieści się wiecej rozwiązań, i trzeba je dokładnie podać. Czy w takim przypadku mogę sobie za k postawić liczbę całkowita np k€{-1,-2,0,1,2} i sprawdzać czy wynik mieści się w podanym przedziale? Dobrze rozumiem?

[radagast]

To się samo robi. Np:
\(\sin 3x= \frac{1}{2}\)
\(3x= \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee \ \ 3x= \pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ \ \ k \in C\)
\(3x= \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee \ \ 3x= \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ \ \ k \in C\) dzieląc obustronnie przez 3 otrzymuję:
\(x= \frac{\pi}{18}+ \frac{2k\pi}{3} \ \ \vee \ \ x= \frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\ \ \ k \in C\)
No i się "zagęściło" (czy tak jak Ty to nazwałaś "zawężyło")
Dziedzina - analogicznie.

No i kontynuując mój przykład:
\(D= \left\langle-2\pi,2\pi \right\rangle\) (taką dziedzinę przyjmijmy, choć może być dowolna)
\(\frac{\pi}{18}+ \frac{2k\pi}{3} \in D \iff \\
-2\pi<\frac{\pi}{18}+ \frac{2k\pi}{3} <2\pi \iff\\
-2\pi-\frac{\pi}{18}< \frac{2k\pi}{3} <2\pi-\frac{\pi}{18} \iff\\
-6\pi-\frac{\pi}{6}< 2k\pi <6\pi-\frac{\pi}{6} \iff \\
-3-\frac{1}{12}< k <3-\frac{1}{12} \iff k \in \left\{-3,-2,-1,0,1,2 \right\}\)
analogicznie drugi ciąg rozwiązań.
W wyniku zagęszczenia otrzymamy aż 12 rozwiązań tego równania (ograniczonego do przedziału \(\left\langle-2\pi,2\pi \right\rangle\) .