Funkcja wymierna

[nltroll]

1.Określ dziedzinę, zbióra wartości, miejsce zerowe, środek symetrii,równania asymptot funkcji : \(f(x)= \frac{-2x-4}{x+4}\)
2.Rozwiąż równania i nierówności:
a) \(\frac{x^2}{x^2-2x-3} - \frac{2-x}{x-3} \ge 4\)

b) \(\frac{|x-3|}{x}-1=x\)

3. Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru k :

\(\frac{k}{x^2-3x-10}= \frac{x}{x-5}\)

4.Wykonanie pewnej pracy zajmuje stażyście 5 dni więcej niż doświadczonemu pracownikowi. Pracując razem wykonaliby tę pracę w ciągu 6 dni. Ile dni pracował by każdy z nich gdyby pracowali razem? Ile dni pracował by każdy z nich gdyby pracowali osobno ?

Dziękuję bardzo za pomoc !

[radagast]

1.Określ dziedzinę, zbióra wartości, miejsce zerowe, środek symetrii,równania asymptot funkcji : \(f(x)= \frac{-2x-4}{x+4}\)

\(D=R \bez \left\{-4 \right\}\)
miejsce zerowe: \(-2\)

\(f(x)= \frac{-2x-4}{x+4}=-2+ \frac{4}{x+4}\)
zatem \(y=-2\) asymptota pozioma obustronna, \(x=-4\) asymptota pionowa obustronna
środek symetrii (-4,-2)
zbiór wartości \(R \bez \left\{ -2\right\}\)
i rzeczywiście

ScreenHunter_351.jpg (26.43 KiB) Przejrzano 2928 razy

[radagast]

4.Wykonanie pewnej pracy zajmuje stażyście 5 dni więcej niż doświadczonemu pracownikowi. Pracując razem wykonaliby tę pracę w ciągu 6 dni. Ile dni pracował by każdy z nich gdyby pracowali razem? Ile dni pracował by każdy z nich gdyby pracowali osobno ?

\(s\)- tyle dni pracuje stażysta (sam)
\(d\)-tyle dni pracuje doświadczony pracownik (sam)
\(\frac{1}{s}\) -taką część pracy wykona stażysta w ciągu jednego dnia (sam)
\(\frac{1}{d}\) -taką część pracy wykona doświadczony pracownik w ciągu jednego dnia (sam)
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{d}\)-taką część pracy wykonają razem w ciągu jednego dnia.
\(\begin{cases}s-5=d\\ \frac{1}{s}+ \frac{1}{d} = \frac{1}{6} \end{cases}\)

...
odp: razem 6 dni
stażysta 15 dni
doświadczony pracownik 10 dni

[radagast]

2.Rozwiąż równania i nierówności:
a) \(\frac{x^2}{x^2-2x-3} - \frac{2-x}{x-3} \ge 4\)

\(\frac{x^2}{x^2-2x-3} - \frac{2-x}{x-3} \ge 4\)
\(\frac{x^2}{(x-3)(x+1)} - \frac{2-x}{x-3} -4\ge 0\)
\(\frac{x^2}{(x-3)(x+1)} - \frac{(2-x)(x+1)}{(x-3)(x+1)} - \frac{4x^2-8x-12}{(x-3)(x+1)} \ge 0\)
\(\frac{x^2}{(x-3)(x+1)} + \frac{x^2-x-2}{(x-3)(x+1)} - \frac{4x^2-8x-12}{(x-3)(x+1)} \ge 0\)
\(\frac{x^2+x^2-x-2-4x^2+8x+12}{(x-3)(x+1)} \ge 0\)
\(\frac{-2x^2+7x+10}{(x-3)(x+1)} \ge 0\)
\(\left( x- \frac{7-\sqrt{129} }{4} \right)(x+1)(x-3)\left( x- \frac{7+\sqrt{129} }{4} \right) \le 0\)

ScreenHunter_352.jpg (9.65 KiB) Przejrzano 2913 razy

Odpowiedź:\(x \in \left( \frac{7- \sqrt{129} }{4},-1 \right) \cup \left(3, \frac{7+ \sqrt{129} }{4} \right)\)

[radagast]

2.Rozwiąż równania i nierówności:


b) \(\frac{|x-3|}{x}-1=x\)

\(D=R \bez \left\{0 \right\}\)

\(\left( x \ge 3 \wedge \frac{x-3}{x}-1=x\right) \vee \left(x< 3 \wedge \frac{3-x}{x}-1=x \right) \iff\)
\(\left( x \ge 3 \wedge \frac{x-3}{x}- \frac{x}{x}- \frac{x^2}{x} =0\right) \vee \left( x < 3 \wedge \frac{3-x}{x}- \frac{x}{x}- \frac{x^2}{x} =0\right) \iff\)
\(\left( x \ge 3 \wedge \frac{x^2+3}{x}=0\right) \vee \left( x < 3 \wedge \frac{3-x-x-x^2}{x}=0\right) \iff\)
\(x < 3 \wedge \frac{x^2+2x-3}{x}=0\iff\)
\(x < 3 \wedge \frac{(x+3)(x-1)}{x}=0\iff\)
\(x=-3 \vee x=1\)

[radagast]

3. Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru k :

\(\frac{k}{x^2-3x-10}= \frac{x}{x-5}\)

\(\frac{k}{x^2-3x-10}= \frac{x}{x-5} \iff \frac{k}{(x-5)(x+2)}= \frac{x}{x-5}\iff \frac{k}{(x-5)(x+2)}= \frac{x(x+2)}{(x-5)(x+2)} \iff \\
x \neq -2 \wedge x \neq 5 \wedge k=x(x+2) \iff x \neq -2 \wedge x \neq 5 \wedge x^2+2x-k=0\)
\(\Delta =4+4k>0 \iff k>-1\)
ale dla k=0 jednym z rozwiązań jest -2,
a dla k=35 jednym z rozwiązań jest 5,
zatem:
równanie ma dwa rozwiązania dla \(k \in \left(-1,0 \right) \cup \left( 0,35\right) \cup \left( 35, \infty \right)\)
równanie ma jedno rozwiązanie dla \(k \in \left\{-1,0,35 \right\}\)
równanie nie ma rozwiązań dla k<-1