Funkcja, styczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Funkcja, styczna

Post autor: swpt »

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax + \frac{b}{x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Prosta o równaniu \(y = 2\) jest styczna do wykresu funkcji \(y = f(x)\) w punkcie\((1, f(1))\). Uzasadnij, że funkcja \(y = f(x)\) jest rosnąca dla \(x>1\).
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

\(\begin{cases} f(1) =2 \\ f'(1)=0 \end{cases} \So \begin{cases} a=... \\ b=... \end{cases}\)
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Post autor: swpt »

\(a = 1\) i \(b = 2\)

\(f(x) = x + \frac{2}{x^2+1}\)

Wyznaczyłam miejsce zerowe tej funkcji \((x+1)(x^2-x+2)=0\) \(\So\) m.z.: \(x=-1\) i na wykresie widać, że funkcja rośnie od \(-1\). Nie jestem pewna, czy jest to dobre uzasadnienie tego, co jest wymagane w treści zadania.
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

O monotoniczności funkcji decyduje znak pochodnej...
\(f'(x)= \frac{x^4+2x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}\\f'(1)=0\\x^4+2x^2-4x+1=0\\(x-1)(x^3+x^2+3x-1)=0\\f'(x)>0 \;\;dla....\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Post autor: swpt »

\(f'(x) > 0\) dla \(x>1\) więc funkcja \(y=f(x)\) jest rosnąca dla \(x>1\).
ODPOWIEDZ