Odległość prostej od paraboli

[okejka]

Znajdź odległość prostej \(y = ax + b\) od paraboli \(y = x^2\) wiedzą, że \(a^2 +4b < 0\).
Z góry dziękuję

[radagast]

ScreenHunter_274.jpg (8.77 KiB) Przejrzano 1199 razy

\(y = x^2\)
\(y'=2x\)
\(x_0\)-odcięta punktu styczności stycznej równoległej do prostej \(y=ax+b\)
\(2x_0=a \So x_0= \frac{a}{2}\)
zatem \(\left(\frac{a}{2},\frac{a^2}{4} \right)\) -punkt styczności. Należy znaleźć jego odległość od prostej \(y=ax+b\) czyli, w postaci ogólnej, prostej \(ax-y+b=0\)
Podstawiając do wzoru na odległość punktu od prostej mamy:
\(d= \frac{|a \cdot \frac{a}{2} -\frac{a^2}{4}+b|}{ \sqrt{a^2+1} }=\frac{|\frac{a^2}{4}+b|}{ \sqrt{a^2+1} }=\frac{|a^2+4b|}{4 \sqrt{a^2+1} }=-\frac{a^2+4b}{4 \sqrt{a^2+1} }\)