Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem

[Januszgolenia]

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m \((m \in R)\), dla których dziedziną funkcji wymiernej \(W(x)= \frac{1}{mx^4+(m+1)x^2+2(m+1)}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

[Galen]

Wyznacz wartości parametru m,dla których mianownik,czyli funkcja \(f(x)=mx^4+(m+1)x^2+2(m+1)\) ma miejsca zerowe.Jeśli odrzucisz te wartości m,to zostaną te,dla których D=R.
\(mx^4+(m+1)x^2+2(m+1)=0\\x^2=t\;\;\;\;i\;\;\;t\ge 0\\mt^2+(m+1)t+2(m+1)=0\\\Delta\ge 0\\(m+1)^2-8m(m+1)\ge 0\\(m+1)(m+1-8m)\ge 0\\(m+1)(1-7m)\ge 0\\m\in (-1;\frac{1}{7})\)
Jeszcze rozważ t> lub równe zero,bo takie t da miejsca zerowe w mianowniku...

[Januszgolenia]

Tak robiłem i nie wyszło mi tak jak w odpowiedzi w zbiorze czyli \(m \in (- \infty ,-1) \cup <0,+ \infty )\)

[radagast]

Bo nie uwzględniacie przypadku kiedy funkcja \(g(x)=mx^2+(m+1)x+2(m+1)\) ma dwa ujemne miejsca zerowe (wtedy również funkcja \(f(x)=mx^4+(m+1)x^2+2(m+1)\) się nie zeruje w zbiorze liczb rzeczywistych)

[Januszgolenia]

Proszę pokazać jak rozwiązać to zadanie.

[radagast]

Dużo pisania, dziś nie mam czasu
należy rozważyć 3 przypadki :
1) \(m=0\)
2) \(\Delta <0\)
3) \(\Delta \ge 0 \ \wedge \ -\frac{b}{a} <0\ \wedge \ \frac{c}{a} >0\)( przy czym \(a=m,\ b=m+1,\ c=2(m+1)\).
Na koniec zsumować otrzymane wyniki (\(1) \cup 2) \cup 3)\))
Wychodzi tak jak w odpowiedziach