Rozwiąż równanie trygonometryczne

[Einveru]

\(\sin x + \cos x = 1\)

Moja odpowiedź to x = \(k \pi\) v \(x = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi\), niestety w książce jest inna.

[kerajs]

Sprawdź swoje rozwiązanie dla \(x= \pi\)

\(\frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x + \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\sin \left(x+ \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
x=2k \pi \vee x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi\)

[Galen]

\(sin x+cos x=1\\sin^2x+cos^2x+2sinx cos x=1\\2sinx cos x=0\\sinx=0\;i\;\;\; cosx=1\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;cos x=0\;\;\;\;i\;\;sinx=1\\x_1=2k\pi\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;x_2= \frac{\pi}{2}+2k\pi\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;k\in C\)

Prościej i bezpieczniej będzie przejście na jedną funkcję
\(sin x+cosx=1\;\;\;\;\;\;\;sinx=cos(90^o-x)\\cosx+cos( \frac{\pi}{2}-x)=1\)
Wzór na sumę cosinusów
\(2cos( \frac{\pi}{4} )cos(x- \frac{\pi}{4})=1\\2 \frac{ \sqrt{2} }{2}cos(x- \frac{\pi}{4})=1\\cos(x- \frac{\pi}{4})= \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\x- \frac{\pi}{4}= \frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\;lub\;\;\;\;x- \frac{\pi}{4}=- \frac{\pi}{4}+2k\pi\\x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;x_2= 2k\pi\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;k\in C\)