Styczna do funkcji i równania stycznych prostopadłych.

[Enio]

1. Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których prosta y=−5x+8 jest styczna do wykresu funkcji f określonej
wzorem f(x)= x^3 − 3x^2 + mx + 7 .

2. Wyznacz równanie wszystkich stycznych do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x)= 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 które są prostopadłe do prostej o równaniu x-y+4=0 .

[radagast]

2. Wyznacz równanie wszystkich stycznych do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x)= 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 które są prostopadłe do prostej o równaniu x-y+4=0 .

prostopadła do prostej o równaniu x-y+4=0 ma współczynnik kierunkowy -1.
No to ma równanie postaci y=-x+b, a pochodna funkcji f musi wynosić -1.
\(f(x)= 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1\)
\(f'(x)=6x^2+10x+3=-1 \So x=-1\ \vee \ x=- \frac{2}{3}\)

\(f(-1)= 1\) czyli jeden punkt styczności to (-1,1).
Styczna przechodzi przez punkt styczności stąd \(1=1+b \So b=0\).
Równanie jednej stycznej \(y=-x\)


\(f(- \frac{2}{3})= \frac{17}{27}\) czyli drugi punkt styczności to \((- \frac{2}{3},\frac{17}{27})\).
Styczna przechodzi przez punkt styczności stąd \(\frac{17}{27}= \frac{2}{3}+b \So -\frac{1}{27}\).
Równanie jednej stycznej \(y=-x- \frac{1}{27}\)

[radagast]

Wynik paskudny wiec na potwierdzenie obrazek:

ScreenHunter_214.jpg (18.75 KiB) Przejrzano 6385 razy

[Enio]

2. Wyznacz równanie wszystkich stycznych do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x)= 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1 które są prostopadłe do prostej o równaniu x-y+4=0 .

prostopadła do prostej o równaniu x-y+4=0 ma współczynnik kierunkowy -1.
No to ma równanie postaci y=-x+b, a pochodna funkcji f musi wynosić -1.
\(f(x)= 2x^3 + 5x^2 + 3x + 1\)
\(f'(x)=6x^2+10x+3=-1 \So x=-1\ \vee \ x=- \frac{2}{3}\)

\(f(-1)= 1\) czyli jeden punkt styczności to (-1,1).
Styczna przechodzi przez punkt styczności stąd \(1=1+b \So b=0\).
Równanie jednej stycznej \(y=-x\)


\(f(- \frac{2}{3})= \frac{17}{27}\) czyli drugi punkt styczności to \((- \frac{2}{3},\frac{17}{27})\).
Styczna przechodzi przez punkt styczności stąd \(\frac{17}{27}= \frac{2}{3}+b \So -\frac{1}{27}\).
Równanie jednej stycznej \(y=-x- \frac{1}{27}\)

a szefie 1 dasz radę?

[radagast]

a szefie 1 dasz radę?

Jutro.
Dziś tylko odpowiedź: \(m=- \frac{35}{4}\) oraz \(m=-2\).

[radagast]

1. Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których prosta y=−5x+8 jest styczna do wykresu funkcji f określonej
wzorem f(x)= x^3 − 3x^2 + mx + 7 .

\(f(x)= x^3 − 3x^2 + mx + 7\)
\(f'(x)= 3x^2 − 6x + m\)
\(\left(x_0 ,y_0\right)\)- punkt styczności. Wtedy \(f'(x_0)=-5\), czyli \(3x_0^2 − 6x_0 + m=-5\) czyli \(m=-3x_0^2 +6x_0-5\)
Zarówno prosta , jak krzywa przechodzą przez punkt styczności, zatem
\(x_0^3 − 3x_0^2 + mx_0 + 7=-5x_0+8\) czyli \(x_0^3 − 3x_0^2 +( m+5)x_0 -1=0\)
co po podstawieniu wyznaczonego już \(m\) daje:
\(x_0^3 − 3x_0^2 +(-3x_0^2 +6x_0)x_0 -1=0\) czyli \(2x_0^3-3x_0^2+1=0\).
Rozwiązując to (nietrudne) równanie trzeciego stopnia otrzymuję \(x_0=1\ \vee \ x_0=- \frac{1}{2}\)
czyli \(m=-2\ \vee \ m=- \frac{35}{4}\)

[Enio]

1. Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których prosta y=−5x+8 jest styczna do wykresu funkcji f określonej
wzorem f(x)= x^3 − 3x^2 + mx + 7 .

\(f(x)= x^3 − 3x^2 + mx + 7\)
\(f'(x)= 3x^2 − 6x + m\)
\(\left(x_0 ,y_0\right)\)- punkt styczności. Wtedy \(f'(x_0)=-5\), czyli \(3x_0^2 − 6x_0 + m=-5\) czyli \(m=-3x_0^2 +6x_0-5\)
Zarówno prosta , jak krzywa przechodzą przez punkt styczności, zatem
\(x_0^3 − 3x_0^2 + mx_0 + 7=-5x_0+8\) czyli \(x_0^3 − 3x_0^2 +( m+5)x_0 -1=0\)
co po podstawieniu wyznaczonego już \(m\) daje:
\(x_0^3 − 3x_0^2 +(-3x_0^2 +6x_0)x_0 -1=0\) czyli \(2x_0^3-3x_0^2+1=0\).
Rozwiązując to (nietrudne) równanie trzeciego stopnia otrzymuję \(x_0=1\ \vee \ x_0=- \frac{1}{2}\)
czyli \(m=-2\ \vee \ m=- \frac{35}{4}\)

Dziękuje !

czyli takie rozwiązanie :
f(x)= x^3 − 3x^2 + mx + 7
f'(x)= 3x^2 − 6x + m y=−5x+8 → a=−5
f'(x)=a 3x^2 − 6x + m=−5 3x2 − 6x + m+5=0
Δ=36−4*3(m+5)=−12m−24=−12(m+2)
Δ≥0 gdy m≥−2

jest błędne?

[radagast]

Daje błędny wynik. Np dla m=0 mamy:

ScreenHunter_215.jpg (29.66 KiB) Przejrzano 6358 razy

[radagast]

Natomiast moje rozwiązanie prezentuje się tak:

ScreenHunter_216.jpg (30.25 KiB) Przejrzano 6355 razy

czerwony wykres dla m=-2 ( styczność w punkcie o odciętej 1)
niebieski wykres dla m=-\(\frac{35}{4}\) ( styczność w punkcie o odciętej \(- \frac{1}{2}\))