Bardzo proszę o pomoc w zadaniu ..... za nic nie mogę go ugr

[zgredekr]

Punkty A i B leżą na krzywej o równaniu x^2-y+1=0 i są symetryczne względem punktu M=(-1,4) i wraz z punktem C leżącym na krzywej pomiędzy punktami A i B wyznaczają trójkąt. Uzasadnij, że pole trójkąta ABC jest największe, jeśli C=(-1,2)

[eresh]

\(A(a,a^2+1)\\
B(b,b^2+1)\\
\frac{a+b}{2}=-1\\
\frac{a^2+1+b^2+1}{2}=4\\
A(-1+\sqrt{2},4-2\sqrt{2})\\
B(-1-\sqrt{2},4+2\sqrt{2})\)
prosta AB:
\(y=-2x+2\\
2x+y-2=0\)
pole będzie największe, gdy odległość punktu C(c,c^2+1) od prostej AB będzie największa

\(d=\frac{|2c+c^2+1-2|}{\sqrt{5}}\\
d=\frac{|c^2+2c-1|}{\sqrt{5}}\\
c\in (-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})\So c^2+2c-1<0\\
d=\frac{-c^2-2c+1}{\sqrt{5}}\\
p=\frac{2}{-2}=-1\\
c=-1\\
C(-1,2)\)

[Galen]

Punkty oznaczam z wykorzystaniem równania paraboli \(y=x^2+1\)

\(A=(a;a^2+1)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;B=(b;b^2+1)\)
M jest środkiem odcinka AB
\(M=(-1;4)\\ \frac{a+b}{2}=-1\;\;\;\;\;i\;\;\;\; \frac{a^2+1+b^2+1}{2}=4\\a+b=-2\;\;\;\;i\;\;\;\;a^2+b^2=6\)
\(b=-2-a\\a^2+(-2-a)^2=6\\2a^2+4a-2=0\\a^2+2a-1=0\\\Delta=8\\\sqrt{\Delta}=2 \sqrt{2}\\a_1=-1- \sqrt{2}\\a_2=-1+ \sqrt{2}\)
Odpowiednio liczysz b
\(b_1=-1+ \sqrt{2}\\b_2=-1- \sqrt{2}\)
Liczysz współrzędne punktów A oraz B.
\(A_1=(-1- \sqrt{2};4+2 \sqrt{2}) \\B_1=(-1+ \sqrt{2};4-2 \sqrt{2})\)
Podobnie policzysz drugą możliwość \(A_2\;\;\;i\;\;\;B_2\) (i tu się ucieszysz )
Napisz równanie prostej przechodzącej przez \(A_1B_1\),a następnie wyznacz na paraboli punkt \((c;c^2+1)\) ,którego odległość od prostej jest największa,co oznacza że pole trójkąta zależy jedynie od wysokości padającej na podstawe AB.

[zgredekr]

Dzięki dzięki dzięki !!!!

[zgredekr]

Czy wie może ktoś z jakiego zbioru jest to zadanie ?

[wojtek5739g]

Dlaczego w pierwszej odpowiedzi tamta funkcja kwadratowa z "c" jest zawsze ujemna? I skąd się wzięło to "p" na końcu????

[Galen]

Dlaczego w pierwszej odpowiedzi tamta funkcja kwadratowa z "c" jest zawsze ujemna? I skąd się wzięło to "p" na końcu????

Odległość d jest wyrażona wzorem \(d=\frac{-c^2-2c+1}{\sqrt{5}}\)
W liczniku jest funkcja kwadratowa \(f(c)=-c^2-2c+1\) jej wykresem jest parabola z ramionami ku dołowi,zatem funkcja
osiąga wartość największą w wierzchołku paraboli.Często piszecie \(W=(p;q)\) co oznacza współrzędne wierzchołka paraboli.
Stąd taki zapis
\(p=c_{wierzchołka\;paraboli}\)