Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2 + mx + 3 - m =0\) osiąga najmniejszą wartość?
Mam problem z powyższym zadaniem, a właściwie ze zrozumieniem co autor miał na myśli.
Liczę kiedy \(\Delta \ge 0 \iff m \in (-\infty ; -6 > \cup < ; +\infty)\)
I teraz licząc tą sumę kwadratów wychodzi mi: \(x_{1}^2 +x_{2}^2 = (...) = m^2+2m-6\)
No i jak dla mnie jest oczywiste, że ta suma kwadratów zawsze przyjmuje wartość najmniejszą (bo współczynnik \(a\) jest dodatni), więc odpowiedzią jest po prostu dziedzina. Jednak autor podaje \(m=2\)
Polecenie brzmi...
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f(m)=m^2+2m-6\) określonej na zbiorze \((- \infty ;-6> \cup <2;+ \infty )\)
Po lewej stronie funkcja jest malejąca i ma najmniejszą wartość f(-6)=42,po prawej jest rosnąca
i ma najmniejszą wartość f(2)=2
Z tych dwóch najmniejsza to ta,którą osiąga dla m=2.
Mam wrażenie, że problem tu stwarza nasz język ojczysty.
Chodzi o to, że osiągana wartość ma być najmniejsza, a nie to, że w ogóle ma być osiągana wartość najmniejsza
No, najwyraźniej nie zrozumiałeś.
Ta suma kwadratów (S) zależy od m: \(S(m)=m^2+2m-6\).
Wiadomo, że takie coś osiąga minimum dla \(m= \frac{-2}{2 \cdot 1}=-1\). Problem w tym, że \(m=-1\) nie należy do dziedziny m-ów.
Musimy szukać tego minimum na zbiorze \((- \infty ;-6> \cup <2;+ \infty )\).
Jak wiesz funkcja S(m) jest malejąca do \(m=-1\) i rosnąca od \(m=-1\).
Trzeba zatem zobaczyć co jest mniejsze, \(S(-6)\) czy \(S(2)\). Sugerując się podaną przez cb odpowiedzią, będzie to pewnie m=2.
radagast pisze:Mam wrażenie, że problem tu stwarza nasz język ojczysty.
Chodzi o to, że osiągana wartość ma być najmniejsza, a nie to, że w ogóle ma być osiągana wartość najmniejsza
Dokładnie masz rację, gdyż widziałem identyczne zadanie i tam właśnie autorowi chodziło o osiąganie tej wartości w ogóle, a nie konkretnej najmniejszej.
