Badanie przebiegu zmiennosci

[mahidevran]

1. Zbadaj liczbę rozwiazan rownania 2x^3/x^2-9=m w zaleznosci od wartosci parametru m, m nalezy do R.

[korki_fizyka]

a czemuż nie zapiszesz tego ładnie w LaTeXie
viewtopic.php?f=21&t=12615

[Galen]

Zbadaj przebieg funkcji i ustal liczbę punktów wspólnych prostych poziomych y=m z otrzymanym wykresem funkcji...
\(f(x)= \frac{2x^3}{x^2-9}\;\;\;\;\;\;\;\;dziedzina\;\;\;D=(-\infty;-3) \cup (-3;3) \cup (3;+ \infty )\)
\(\Lim_{x\to - \infty }f(x)=- \infty \\ \Lim_{x\to + \infty }f(x)=+ \infty\)
\(\Lim_{x\to -3^-}f(x)=- \infty \\ \Lim_{x\to -3^+}f(x)=+ \infty \\ \Lim_{x\to 3^-}f(x)=- \infty \\ \Lim_{x\to 3^+}f(x)=+ \infty\)
Pochodna,monotoniczność i ekstrema.
\(f'(x)= \frac{6x^2(x^2-9)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-9)^2}= \frac{2x^4-54x^2}{(x^2-9)^2}\\f'(x)=0\;\;\;\;gdy\;\;\;licznik\; jest\;\; zerem\\
2x^2(x^2-27)=0\\x=0\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x=3\sqrt{3}\;\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;\;x=-3\sqrt{3}\)
\(f'(x)>0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;x^2-27>0\\x\in (- \infty ;-3\sqrt{3})\;\;\;\;\;oraz\;\;\;\;\;\;x\in (3\sqrt{3};+ \infty )\)
W tych przedziałach funkcja rośnie.
W pozostałych,czyli \((-3 \sqrt{3};-3)\;\;;\;(-3;3)\;\;;\;(3;3 \sqrt{3})\) funkcja maleje.

\(f_{MAX}=f(-3\sqrt{3})=-9 \sqrt{3} \\f_{min}=f(3 \sqrt{3})= 9 \sqrt{3}\)

Po narysowaniu wykresu masz odp.
Równanie \(f(x)=m\) ma jedno rozwiązanie dla \(m\in (-9 \sqrt{3};9 \sqrt{3})\)
dwa rozwiązania dla \(m\in \left\{ -9 \sqrt{3}\;;\;9 \sqrt{3} \right\}\)
trzy rozwiązania dla \(m\in (-\infty ;-9\sqrt{3}) \cup (9\sqrt{3};+ \infty )\)