Tożsamość trygonometryczna

[R0x]

Udowodnij tożsamość:
\(\frac {sin \alpha }{1+cos \alpha } + \frac {sin \alpha }{1- cos \alpha } = \frac { 2 }{sin \alpha }\) .

Czy ten dowód jest poprawny?

\(Dowód:\)

\(L = \frac {sin \alpha }{1+cos \alpha } + \frac {sin \alpha }{1- cos \alpha} = \frac {sin \alpha (1 - cos \alpha) + sin \alpha (1 + cos \alpha) }{(1+cos \alpha)(1 - cos \alpha) } = \frac {sin \alpha - sin \alpha cos \alpha + sin \alpha + sin \alpha cos \alpha }{(1+cos \alpha)(1 - cos \alpha) }=\frac {2 sin \alpha }{sin^2 \alpha } = \frac {2 }{sin \alpha } = P\)
\(L = P\)
\(c.k.d.\)

[eresh]

Udowodnij tożsamość:
\(\frac {sin \alpha }{1+cos \alpha } + \frac {sin \alpha }{1- cos \alpha } = \frac { 2 }{sin \alpha }\) .

Czy ten dowód jest poprawny?

\(Dowód:\)

\(L = \frac {sin \alpha }{1+cos \alpha } + \frac {sin \alpha }{1- cos \alpha} = \frac {sin \alpha (1 - cos \alpha) + sin \alpha (1 + cos \alpha) }{(1+cos \alpha)(1 - cos \alpha) } = \frac {sin \alpha - sin \alpha cos \alpha + sin \alpha + sin \alpha cos \alpha }{(1+cos \alpha)(1 - cos \alpha) }=\frac {2 sin \alpha }{sin^2 \alpha } = \frac {2 }{sin \alpha } = P\)
\(L = P\)
\(c.k.d.\)

jest poprawny

[Galen]

Jest poprawny,ale niekompletny
Należy jeszcze wpisać warunki dla argumentu alfa
\(cos\alpha\neq-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;cos\alpha\neq 1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;sin\alpha\neq 0\)
\(\alpha\neq 2k\pi\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\alpha\neq \pi+2k\pi\\czyli\\\alpha \neq k\pi\)

[radagast]

Należy jeszcze wpisać warunki dla argumentu alfa
\(cos\alpha\neq-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;cos\alpha\neq 1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;sin\alpha\neq 0\)
\(\alpha\neq 2k\pi\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\alpha\neq \pi+2k\pi\\czyli\\\alpha \neq k\pi\)

Z tym można polemizować.
Dla \(\alpha= k\pi\) ani lewa, ani prawa strona nie posiada wartości liczbowej. Równość zachodzi więc również wtedy. Podawanie warunków byłoby konieczne gdyby tylko jedna ze stron nie miała wartości liczbowej.