Wyznacz asymptoty ukośne (poziome) wykresu funkcji f, jeśli:

[Einveru]

1)
\(f(x) = \frac{4x - 3}{|x| + 2}\)
2)
\(f(x) = \frac{x^2 - 4}{|x + 1| + 1}\)
3)
\(f(x) = \sqrt{4x^2 - x}\)
4)
\(f(x) = \frac{1}{x^2+1} , jeśli |x|≤4\)
\(\frac{2|x|}{x^2+x+5} , jeśli |x|>4\)

[Galen]

1)
\(f(x)= \frac{4x-3}{|x|+2}\;\;\;\;\;\;\;D= \rr \\ \Lim_{x\to - \infty } \frac{4x-3}{|x|+2}= \Lim_{x\to - \infty } \frac{4- \frac{3}{x} }{-1+ \frac{2}{x} }= \frac{4+0}{-1+0}=-4\)
Z lewej strony jest asymptota pozioma \(y=-4\)
\(\Lim_{x\to + \infty }f(x)=4\)
Z prawej strony jest asymptota pozioma \(y=4\)
2)
\(f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-4}{-x-1+1}\;\;\;dla\;\;\;x<-1\\ \frac{x^2-4}{x+1+1}\;\;\;dla\;\;\;x\ge-1 \end{cases}\)
\(f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-4}{-x}\;\;\;\;x<-1\\ \frac{x^2-4}{x+2}=x-2 \;\;\;x\ge -1 \end{cases}\)
Asymptota ukośna z lewej strony
\(a= \Lim_{x\to - \infty } \frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to - \infty } \frac{x^2-4}{-x \cdot x}=-1\\
b= \Lim_{x\to - \infty }(f(x)-x)= \Lim_{x\to - \infty }- \frac{x^2-4}{x}-(-1)x= \Lim_{x\to - \infty } \frac{4}{x}=0\)
Asymptota ukośna \(y=-x\)

Po prawej
\(f(x)=x-2\\a= \Lim_{x\to + \infty } \frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to + \infty } \frac{x-2}{x}=1\\b= \Lim_{x\to \infty }(f(x)-x)= \Lim_{x\to \infty }x-2-x=-2\)
Asymptota z prawej strony
\(y=x-2\)

[Galen]

Zad.3
\(f(x)= \sqrt{4x^2-x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;4x^2-x \ge 0\\x(4x-1) \ge 0\\D=(- \infty ;0> \cup < \frac{1}{4};+ \infty )\)
\(a= \Lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to \pm \infty } \frac{ \sqrt{4x^2-x} }{x}= \Lim_{x\to \pm \infty } \frac{|x| \sqrt{4- \frac{1}{x} } }{x}=\\= \begin{cases} \Lim_{x\to - \infty } \frac{-x \sqrt{4- \frac{1}{x} } }{x}\\ \frac{x \sqrt{4- \frac{1}{x} } }{x} \end{cases}= \begin{cases}-2\;\;\;\;dla\;\;x<0\\2\;\;\;dla\;\;\;\;x>0 \end{cases}\)

\(b= \Lim_{x\to \pm \infty }(f(x)-ax)= \begin{cases} \Lim_{x\to - \infty }( \sqrt{4x^2-x}-(-2x) )= \frac{1}{4}\\ \Lim_{x\to + \infty }( \sqrt{4x^2-x}-2x )=- \frac{1}{4} \end{cases}\)
Asymptota z lewej strony:
\(y=-2x+ \frac{1}{4}\)
Asymptota ukośna z prawej strony
\(y=2x- \frac{1}{4}\)

Zad.4
\(\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}=0\)
Asymptota pozioma z obu stron
\(y=0\)