Oblicz granice funkcji w punkcie

[Einveru]

1) \(\Lim_{x\to1 } [ \frac{x(x+1)}{x^4 - 1} - \frac{2}{x^4 - 1} ]\)

2) \(\Lim_{x\to2 } \frac{3x - 6}{ \sqrt{7x + 2} - \sqrt{5x + 6} }\)

[kerajs]

1)
\(\Lim_{x\to1 } [ \frac{x(x+1)}{x^4 - 1} - \frac{2}{x^4 - 1} ]=\Lim_{x\to1 } \frac{x^2+x-2}{x^4 - 1}= \left[ \frac{0}{0} \right] = \left(H \right) \Lim_{x\to1 } \frac{2x^2+1}{4x^3}= \frac{3}{4}\)

\(\Lim_{x\to1 } [ \frac{x(x+1)}{x^4 - 1} - \frac{2}{x^4 - 1} ]=\Lim_{x\to1 } \frac{x^2+x-2}{x^4 - 1}= \left[ \frac{0}{0} \right] = \Lim_{x\to1 } \frac{(x-1)(x+2)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}= ...\)

2)
\(\Lim_{x\to2 } \frac{3x - 6}{ \sqrt{7x + 2} - \sqrt{5x + 6} } = \left[ \frac{0}{0} \right] = \left( H\right) \frac{3}{ \frac{7}{2 \sqrt{7x + 2}} - \frac{5}{2 \sqrt{5x + 6}} }.= \frac{3}{ \frac{7}{8} - \frac{5}{8} }=12\)
\(\Lim_{x\to2 } \frac{3x - 6}{ \sqrt{7x + 2} - \sqrt{5x + 6} } \cdot \frac{\sqrt{7x + 2} + \sqrt{5x + 6}}{ \sqrt{7x + 2} + \sqrt{5x + 6} } =....\)

[Einveru]

1)
\(\Lim_{x\to1 } [ \frac{x(x+1)}{x^4 - 1} - \frac{2}{x^4 - 1} ]=\Lim_{x\to1 } \frac{x^2+x-2}{x^4 - 1}= \left[ \frac{0}{0} \right] = \left(H \right) \Lim_{x\to1 } \frac{2x^2+1}{4x^3}= \frac{3}{4}\)

\(\Lim_{x\to1 } [ \frac{x(x+1)}{x^4 - 1} - \frac{2}{x^4 - 1} ]=\Lim_{x\to1 } \frac{x^2+x-2}{x^4 - 1}= \left[ \frac{0}{0} \right] = \Lim_{x\to1 } \frac{(x-1)(x+2)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}= ...\)

2)
\(\Lim_{x\to2 } \frac{3x - 6}{ \sqrt{7x + 2} - \sqrt{5x + 6} } = \left[ \frac{0}{0} \right] = \left( H\right) \frac{3}{ \frac{7}{2 \sqrt{7x + 2}} - \frac{5}{2 \sqrt{5x + 6}} }.= \frac{3}{ \frac{7}{8} - \frac{5}{8} }=12\)
\(\Lim_{x\to2 } \frac{3x - 6}{ \sqrt{7x + 2} - \sqrt{5x + 6} } \cdot \frac{\sqrt{7x + 2} + \sqrt{5x + 6}}{ \sqrt{7x + 2} + \sqrt{5x + 6} } =....\)

Co oznacza ten zapis z (H)? Po raz pierwszy się spotykam z czymś takim.
Wciąż nie rozumiem 2), próbowałam usuwać tę nierwymierność, wciąż miałam 0 w mianowniku i nie wiem co z tym zrobić i jak dojść do tego wyniku.

[panb]

H oznacza zastosowanie reguły de l'Hospitala.

Można i bez tego:

\(\frac{(3x-6)( \sqrt{7x+2} + \sqrt{5x+6} )}{7x+2-5x-6}= \frac{3(x-2)( \sqrt{7x+2} + \sqrt{5x+6} )}{2(x-2)}= \frac{3}{2} \left( \sqrt{7x+2} + \sqrt{5x+6} \right)\)
Teraz już łatwo policzyć granicę wstawiając \(x=2\).