równanie wymierne z parametrem

[VirtualUser]

Witam, mam zadanko, w którym trochę się zamotałem:

rozwiąż równanie, gdzie \(a\) jest parametrem rzeczywistym: \(\frac{x^2 + 1}{a^2 x - 2a} + \frac{1}{ax-2} = \frac{x}{a}\)

Mógłby ktoś pokazać pełen model rozwiązania tego?

Osobiście zacinam się na momencie gdy sprawdzam co wyjdzie mi z końcowej funkcji kwadratowej po podstawieniu tego:
\(f( \frac{2}{a} )\) i z tego mi wychodzi \(a^3 + a^2 + 4 = 0\), którego ni jak nie mogę rozwiązać.

[eresh]

\(\frac{x^2+1}{a^2x-2a}+\frac{1}{ax-2}=\frac{x}{a}\\
a\neq 0\;\;ax-2\neq 0\\
\frac{x^2+1}{a(ax-2)}+\frac{1}{ax-2}=\frac{x}{a}\\
\frac{x^2+1+a}{a(ax-2)}=\frac{x}{a}\\
a(x^2+1+a)=ax(ax-2)\;\; \bez :a (a\neq 0)\\
x^2+1+a=ax^2-2x\\
x^2(1-a)+2x+1+a=0\\\)

dla a=1:
\(2x+1+1=0\\
x=-1\)

dla \(a\neq 1\)
\(\Delta = 4-4(1+a)(1-a)\\
\Delta = 4-4(1-a^2)\\
\Delta = 4(1-1+a^2)\\
\Delta = 4a^2\\
\sqrt{\Delta}=2|a|\\
x_1=\frac{-2-2|a|}{1-a}=\frac{-2(1+|a|)}{1-a}\\
x_2=\frac{-2(1-|a|)}{1-a}\)

[VirtualUser]

okej, ale nie trzeba posprawdzać warunku \(x \neq \frac{2}{a}\)? W odpowiedziach konkretnie się rozpisują, dla jakich wartości parametru będą dwa rozwiązania, dla jakich jedno, dla jakich wcale i ciągle uwzględniają to co wywalili z dziedziny, tylko niestety pokazali ogródkowo to wszystko i trudno złożyć to w całość

[eresh]

okej, ale nie trzeba posprawdzać warunku \(x \neq \frac{2}{a}\)? W odpowiedziach konkretnie się rozpisują, dla jakich wartości parametru będą dwa rozwiązania, dla jakich jedno, dla jakich wcale i ciągle uwzględniają to co wywalili z dziedziny, tylko niestety pokazali ogródkowo to wszystko i trudno złożyć to w całość

pewnie że trzeba, spróbuj zrobić to sam

[VirtualUser]

Cały mój problem na tym polega, spójrz na treść posta, policzyć funkcje potrafię, ale nie wiem co zrobić z \(f( \frac{2}{a} )\)

[kerajs]

\(a^3 + a^2 + 4 = 0\), którego ni jak nie mogę rozwiązać.

\(a^3+a^2+4=(a+2)(a^2-a+2)\)