Funkcje - styczne i pochodne

[ionny]

Znajdź równania prostych k oraz l stycznych do krzywej, będącej wykresem funkcji \(f(x)=−x^2−9\), przechodzących przez punkt \(A=(4,0)\). Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie B i C są punktami styczności prostych k i l do tego wykresu.

Mam troche luki w pochodnych i nie wiem jak zrobic to zadanie. Moglby ktos troche objasnic sprawe? Podziekowalbym rowniez za jakies objasnienia do zadania skad sie co bierze, z gory bardzo dziekuje za pomoc.

[Galen]

Styczna ma równanie:
\(y-y_o=f'(x_o)(x-x_o\)
Punkt styczności to
\((x_o;y_o)\)
\(y_o=f(x_o)=-x_o^2-9\)

\(f(x)=-x^2-9\\f'(x)=-2x\)
Prosta \(y-y_o=f'(x_o)(x-x_o)\) ma przechodzić przez \((4;0)\)
\(0-y_o=f'(x_o)(4-x_o)\\0-(-x_o^2-9)=-2x_o(4-x_o)\\x_o^2+9=-8x_o+2x_o^2\\-x_o^2+8x_o+9=0\\x_o=-1\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x_o=9\\f(-1)=-10\\f(9)=-90\)
Punkty styczności:
\((-1;-10)\;\;\;\;oraz\;\;\;\;\;(9;-90)\)
Styczne:
\(y+10=2(x+1)\\czyli\\y=2x-8\)
Druga styczna
\(y+90=-18(x-9)\\czyli\\y=-18x+72\)
Pole trójkąta ABC:
\(A=(4;0)\\B=(-1;-10)\\C=9;-90)\\ \vec{AB}=[-5;10]\\ \vec{AC}=[5;-90]\\P=| \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} -5;10\\5;-90\end{vmatrix}|= \frac{1}{2} \cdot (450-50)=200\)

[ionny]

Dziekuje bardzo