funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dotkatwoja
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 15 paź 2017, 14:42
Podziękowania: 9 razy

funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: dotkatwoja »

Proszę o rozwiązanie tych równań:
1) \(\sin x +\sin y =\sin (x + y),\)
2) \(\tg(2x + 1) \ctg(x − 1) = 1\),
3) \(2 \sin^2 x + \sin x\cos x + 3 \cos^2 x = 3\),
4) \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\),
5 ) \(\sin x \sin 7x = \sin 3x \sin 5x\).

Sprawdź tożsamość:
6. )\(\sin x + \cos x + \sin 3x + \cos 3x = 2 \sqrt{2} \cos x \sin ( \frac{\pi}{4}+2x)\)
7. ) \(\frac{\tg x+\tg y}{\tg(x+y)} + \frac{\tg x−\tg y}{\tg(x−y)} + 2 \tg^2 x = \frac{2}{\cos^2 x}\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze:Proszę o rozwiązanie tych równań:
1) sin x + sin y = sin(x + y),
\(2\sin\frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=\sin (2(\frac{x+y}{2}))\\
2\sin\frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\\
2\sin\frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}-2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}=0\\
2\sin\frac{x+y}{2}(\cos\frac{x-y}{2}-\cos\frac{x+y}{2})=0\\
2\sin\frac{x+y}{2}\cdot (-2\sin x\sin (-y))=0\\
4\sin \frac{x+y}{2}\sin x\sin y=0\\
\sin \frac{x+y}{2}=0\;\; \vee \;\;\sin x=0\;\;\vee\;\;\sin y=0\\
\frac{x+y}{2}=k\pi\;\;\;\x=k\pi\;\;\vee\;\;y=k\pi\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze:Proszę o rozwiązanie tych równań:

2) tg(2x + 1) ctg(x − 1) = 1,

\(2x+1\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\
x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}-\frac{1}{2}, k\in\mathbb{C}\\
x-1\neq k\pi\\
x\neq 1+k\pi\)


\(\tg (2x+1)\cdot\frac{1}{\tg (x-1)}=1\\
\tg (2x+1)=\tg (x-1)\\
2x+1=x-1+k\pi\\
x=-2+k\pi\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze:Proszę o rozwiązanie tych równań:

3) 2 sin^2 x + sin x cos x + 3 cos^2 x = 3,

\(2 \sin^2 x + \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3\\
2\sin^2x + \sin x\cos x + 3 \cos^2x = 3(\sin^2x + \cos^2x)\\
2\sin^2x + \sin x\cos x + 3\cos^2x − 3\sin^2x − 3\cos^2x = 0\\
-\sin^2x+\sin x\cos x=0\\
-\sin x(\sin x-\cos x)=0\\
\sin x=0\;\;\vee\;\;\sin x-\cos x=0\)

dalej już łatwo
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze:Proszę o rozwiązanie tych równań:

4) cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0,

\(\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0\\
2\cos 3x\cos x+\cos 3x=0\\
\cos 3x(2\cos x+1)=0\\
\cos 3x=0\;\;\Rightarrow \;\; 3x= \frac{ \pi }{2} +k \pi \;\;\;\Rightarrow \;\;\; x= \frac{ \pi }{6}+ \frac{k \pi }{2}\\
\cos x=- \frac{1}{2}\;\;\; \Rightarrow \;\;\; x= \frac{2 \pi }{3} +2k \pi \;\; \vee \;\; x=- \frac{2 \pi }{3}+2k \pi \\
k \in \mathbb{C}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze: 5 ) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.

\(\sin 7x\sin x=\sin 5x\sin 3x\\
-0,5(\cos 8x-\cos 6x)=-0,5(\cos 8x-\cos 2x)\\
\cos 8x-\cos 6x=\cos 8x-\cos 2x\\
-\cos 6x+\cos 2x=0\\
-2\sin 4x\sin (-2x)=0\\
\sin 4x=0\;\;\Rightarrow x=\frac{k\pi}{4}\\
\sin 2x=0\;\;\Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}\\
k\in\mathbb{C}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze:
Sprawdź tożsamość:
6. )sin x + cos x + sin 3x + cos 3x = 2 \sqrt{} 2 cos x sin ( \pi /4 +2x)
\(\sin x + \cos x + \sin 3x + \cos 3x = 2 \sqrt{2} \cos x \sin ( \frac{\pi}{4}+2x)\\
\sin x + \cos x + \sin 3x + \cos 3x=2\sin 2x\cos x+2\cos 2x\cos x=2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)=\\=2\cos x(\sin 2x+\sin (\frac{\pi}{2}+2x)=2\cos x\cdot 2\sin (2x+\frac{\pi}{4})\cos \frac{\pi}{4}=2\sqrt{2}\cos x\sin (2x+\frac{\pi}{4})\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: funkcja trygonometryczna prosze o pomoc

Post autor: eresh »

dotkatwoja pisze: 7. ) [(tg x+tg y)/tg(x+y)] + [(tg x−tg y)/tg(x−y)] + 2 tg^2 x = 2/cos^2 x

\(\frac{\tg x+\tg y}{\tg (x+y)}+\frac{\tg x-\tg y}{\tg (x-y)}+2\tg^2x=\\
\frac{(\tg x+\tg y)\cdot\frac{\tg x-\tg y}{1+\tg x\tg y}+(\tg x-\tg y)\cdot\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\tg y}}{\frac{(\tg x+\tg y)(\tg x-\tg y)}{(1-\tg x\tg y)(1+\tg x\tg y)}}+2\tg^2x=\\
\frac{\frac{\tg^2x-\tg^2y}{1+\tg x\tg y}+\frac{\tg^2x-\tg^2y}{1-\tg x\tg y}}{\frac{\tg^2x-\tg^2y}{1-\tg^2x\tg^2y}}+2\tg^2x=\\
\left( \frac{\tg^2x-\tg^2y}{1+\tg x\tg y}+\frac{\tg^2x-\tg^2y}{1-\tg x\tg y}\right)\cdot\frac{1-\tg^2x\tg^2y}{\tg^2x-\tg^2y}+2\tg^2x=\\
1-\tg x\tg y+1+\tg x\tg y+2\tg^2x=2+2\tg^2x=2(1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x})=2\cdot\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{2}{\cos^2x}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ