Reszta dzielenia wielomianu przez trójmian

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Euvarios
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 12 lut 2017, 21:02
Podziękowania: 31 razy
Płeć:

Reszta dzielenia wielomianu przez trójmian

Post autor: Euvarios »

Witam, mam problem z pewnym zadaniem. Albo inaczej. Wiem jak je rozwiązać, ale nie wiem czemu mogę tak zrobić. Polecenie zadania:
"Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(w\) przez trójmian \(p(x)=x^2-4x-5\) wiedząc, że liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu \(w\) oraz \(w(-1)=6\)."

Początkowo myślałem, że będzie prosto...
\(w(x)=m(x)*p(x) + r(x)\)
Z polecenia zadania wiemy, że:
\(w(-1)=6 \\ w(5)=0\)

\(p(x)=x^2-4x-5 \\ p(x)=(x-5)(x+1)\)
\(p(x)= 0 \iff x \in \left\{ -1,5\right\}\)

\(\begin{cases}w(-1)=r(-1) \\ w(5)=r(5) \end{cases}\)

\(\begin{cases}r(-1)=6 \\ r(5)=0 \end{cases}\)

Teraz gdybym wiedział, że reszta z dzielenia jest funkcją liniową, mógłbym przy pomocy wzoru ogólnego \(f(x)=ax+b\) wyznaczyć, że \(r(x)=-x+5\) (taka jest odpowiedź do zadania). Ale to tylko pod warunkiem, że wiem, którego stopnia jest reszta. W poleceniu nie powiedzieli mi, czy mam do czynienia z wielomianem w(x) stopnia np. siódmego i wtedy reszta będzie piątego albo innego stopnia. Możecie mi pomóc zrozumieć jak do tego powinienem dojść? Z góry dziękuję za odpowiedzi.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

\(\frac{w(x)}{x^2-4x-5}=m(x)+ \frac{r(x)}{x^2-4x-5}\)
Jak widzisz maksymalny stopień reszty musi być mniejszy niż wielomian przez który dzielisz. Gdyby był niemniejszy to mógłbyś (a nawet powinieneś !) dalej dzielić.
Dlatego przyjmujesz że stopień reszty jest o jeden mniejszy od stopnia dzielnika. Jeżeli w rzeczywistości będzie on jeszcze mniejszy to współczynniki przy nadmiarowych potęgach okażą się zerami .
ODPOWIEDZ