Funkcjia wykładnicza i funkcja logarytmiczna

[mahidevran]

Rozwiaz rownania.
a) log7 (6 + 7 ^-x ) = x+1
b) log x 8 - log 4x 8 = log 2x 16

[radagast]

Rozwiaz rownania.
a) log7 (6 + 7 ^-x ) = x+1

\(\log_7 (6 + 7 ^{-x} ) = x+1 \iff\)
\(6 + 7 ^{-x} =7^{ x+1} \iff\)
\(6 + \frac{1}{ 7 ^{x}} =7 \cdot 7^{ x} \iff\)
\(6 \cdot 7 ^{x} +1 =7 \cdot 7^{ 2x}\)
\(7t^2-6t-1=0\)
\(t=1 \vee t=- \frac{1}{7}-odpada\)
\(t=1\)
\(7^x=1\)
\(x=0\)
spr:\(L=\log_77=1,P=1,L=P\) ( sprawdzenie jest obowiązkowe, gdyż nie była wyznaczona dziedzina)

[Galen]

\(log_7(6+7^{-x})=x+1\\7^{x+1}=6+7^{-x}\\7^x\cdot 7=6+7^{-x}\\7 \cdot 7^x-7^{-x}-6=0/ \cdot 7^x\\7\cdot (7^x)^2-7^0-6 \cdot 7^x=0\\7^x=t\\7t^2-6t-1=0\;\;\;\;i\;\;\;\;t\ge 0\)
\(\Delta=64=8^2\\t=1\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\;7^x=1\\x=0\)

[Galen]

b)
\(log_x8-log_{4x}8=log_{2x}16\\
log_x2^3- \frac{log_x2^3}{log_x4x}= \frac{log_x2^4}{log_x2x}\\
3log_x2 - \frac{3log_x2}{log_x4+log_xx}= \frac{4log_x2}{log_x2+log_xx}\)
\(x>0 \;\;\;i\;\;\;\;x\neq 1\;\;\;i\;\;x\neq \frac{1}{4}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;x\neq \frac{1}{2}\)
Podstaw
\(log_x2=t\)
\(3t- \frac{3t}{2t+1}= \frac{4t}{t+1}\)
Otrzymasz
\(t_1=1\\czyli\\log_x2=1\\x_1=2\\t_2=- \frac{2}{3}\\x_2= \frac{1}{ \sqrt{8} }= \frac{ \sqrt{8} }{8}= \frac{ \sqrt{2} }{4}\)
Przelicz to dokładnie...