Równania logarytmiczne

[mahidevran]

Rozwiąż rownania:
a) log4(x^2-1) - 1/2 log4(x-4)^2 = 1 1/2
b) log(7x-9)^2 + log(3x-4)^2=2
proszę o wytłumaczenie

[eresh]

Rozwiąż rownania:
a) log4(x^2-1) - 1/2 log4(x-4)^2 = 1 1/2

\(\log_4(x^2-1)-\frac{1}{2}\log_4(x-4)^2=\frac{3}{2}\)

dziedzina:
\(x^2-1>0\;\;\; \wedge \;\;\;x-4\neq 0\\
D= (-\infty, -1)\cup (1,4)\cup (4,\infty)\)

\(\log_4(x^2-1)-\log_4|x-4|=\frac{3}{2}\\
\log_4\frac{x^2-1}{|x-4|}=\log_44^{\frac{3}{2}}\\
\frac{x^2-1}{|x-4|}=8\\
x^2-1=8|x-4|\)

dla x>4
\(x^2-1=8x-32\\
x^2-8x+31=0\\\)
sprzeczne

dla \(x\in (-\infty, -1)\cup (1,4)\)
\(x^2-1=-8x+32\\
x^2+8x-33=0\\
x=3\\
x=-11\)

[Galen]

b)
\(log(7x-9)^2+log(3x-4)^2=2\\log(7x-9)^2(3x-4)^2=log100\\(7x-9)(3x-4)=10\\21x^2-55x+26=0\\\sqrt{\Delta}= \sqrt{841}=29\\x_1= \frac{13}{21}\\x_2=2\)

[eresh]

Rozwiąż rownania:

b) log(7x-9)^2 + log(3x-4)^2=2
proszę o wytłumaczenie

\(\log (7x-9)^2+\log (3x-4)^2=2\\
D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{9}{7},\frac{4}{3}\}\\
\log [(7x-9)(3x-4)]^2=log 100\\\)
\([(7x-9)(3x-4)]^2=100\\
(7x-9)(3x-4)=10\;\; \vee \;\;(7x-9)(3x-4)=-10\\
21x^2-55x+26=0\;\;\;\vee\;\;21x^2-55x+46=0\\
x=2\;\;\vee\;\;x=\frac{13}{21}\)

[mahidevran]

Rozwiąż rownania:
a) log4(x^2-1) - 1/2 log4(x-4)^2 = 1 1/2

\(\log_4(x^2-1)-\frac{1}{2}\log_4(x-4)^2=\frac{3}{2}\)

dziedzina:
\(x^2-1>0\;\;\; \wedge \;\;\;x-4\neq 0\\
D= (-\infty, -1)\cup (1,4)\cup (4,\infty)\)

skąd w tej dziedzine -1? i czy to nie powinno byc tak (x-4)^2>0?

[eresh]

Rozwiąż rownania:
a) log4(x^2-1) - 1/2 log4(x-4)^2 = 1 1/2

\(\log_4(x^2-1)-\frac{1}{2}\log_4(x-4)^2=\frac{3}{2}\)

dziedzina:
\(x^2-1>0\;\;\; \wedge \;\;\;x-4\neq 0\\
D= (-\infty, -1)\cup (1,4)\cup (4,\infty)\)

skąd w tej dziedzine -1? i czy to nie powinno byc tak (x-4)^2>0?

a pierwszy logarytm?

[mahidevran]

\(\log_4(x^2-1)-\frac{1}{2}\log_4(x-4)^2=\frac{3}{2}\)

dziedzina:
\(x^2-1>0\;\;\; \wedge \;\;\;x-4\neq 0\\
D= (-\infty, -1)\cup (1,4)\cup (4,\infty)\)

skąd w tej dziedzine -1? i czy to nie powinno byc tak (x-4)^2>0?[/quote]
a pierwszy logarytm? [/quote]
a no tak
a co z tym x-4? nie powinno byc do kwadratu?

[eresh]

\(\log_4(x^2-1)-\frac{1}{2}\log_4(x-4)^2=\frac{3}{2}\)

dziedzina:
\(x^2-1>0\;\;\; \wedge \;\;\;x-4\neq 0\\
D= (-\infty, -1)\cup (1,4)\cup (4,\infty)\)

skąd w tej dziedzine -1? i czy to nie powinno byc tak (x-4)^2>0?

a pierwszy logarytm? [/quote]
a no tak
a co z tym x-4? nie powinno byc do kwadratu?[/quote]

\((x-4)^2>0\\
x\neq 4\)